1 + 2 + 3 + ... + 1999 = 1999 * 1000
接著證那一串分別是 1000 和 1999 的倍數即可

\(\begin{align}
  & {{1}^{1999}}+{{2}^{1999}}+{{3}^{1999}}+\cdots +{{1999}^{1999}} \\
& =\left( {{1}^{1999}}+{{1999}^{1999}} \right)+\left( {{2}^{1999}}+{{1998}^{1999}} \right)+\cdots +\left( {{999}^{1999}}+{{1001}^{1999}} \right)+{{1000}^{1999}} \\
& =2000\left( ... \right)+{{1000}^{1999}} \\
&  \\
& {{1}^{1999}}+{{2}^{1999}}+{{3}^{1999}}+\cdots +{{1999}^{1999}} \\
& ==\left( {{1}^{1999}}+{{1998}^{1999}} \right)+\left( {{2}^{1999}}+{{1997}^{1999}} \right)+\cdots +\left( {{999}^{1999}}+{{1000}^{1999}} \right)+{{1999}^{1999}} \\
& =1999\left( ... \right)+{{1999}^{1999}} \\
\end{align}\)