試解第一題，請 指教。


就每次試驗而言，出現7個"1"是必然的。我們以這7個"1"為主角思考: 某個"1"是否為"孤立1"，取決於其前後是否出現"非1"。
進一步而言，對於第一個與第七個"1"，若且唯若其後面/前面為"非1"，其成為"孤立1" (機率 = 5/6)。而中間五個"1"，若且唯若前後皆為"非1"，則成為"孤立1" (機率 = (5/6)²)。


利用期望值具有"和"的性質，所求期望值為:


2*(5/6) + 5*(5/6)² = 185/36 (次)







[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-10-25 12:15 PM 編輯 ]

第一題另外的想法:


考慮 n≥2，當要求"點數1"由出現 n 次增為出現 (n+1) 次時，X的期望值將增加 5/6 - (1/6)*(5/6) = 25/36 (次)


說明: 緊接第 n 次"點數1"，若為"非1" (機率 = 5/6)，則X增加1; 而若為"1"，則X可能不變(當第 n 次"點數1"之前緊接 "點數1"時)，或減1(當第 n 次"點數1"之前不緊接 "點數1"時:  機率 = (1/6)*(5/6))。


因此，所求期望值為(由n=2出發):

2*(5/6) + 5*(25/36) = 185/36 (次)

第 5 題

所求區域可以分割為 5 個全等的 "鯊魚鰭形"。

鯊魚鰭形 = 108°扇形 - "帳篷形" = 108°扇形 - (60°扇形*2 -  √3 /4) = √3 /4 - π/30

所求 = 5√3 /4 - π/6

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第 3 題

類似的問題以前有各路好手解過，請參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2028&extra=&page=1

再試一個較繁複的另解，也藉此機會練習一下 "待定係數" 的手法。


# 已知正數 x，y，z 滿足 x² + y² + 2z² = 10，則 √xy + 3z 的最大值為?


想法: 利用算幾不等式，由 x² + y² 製造 √xy，而用 2z² 製造 3z。為了讓兩部分相容，引入待定係數 a > 0。

(x² + y² + a² + a²) /4 ≥ a√xy ...(1)

(z² + 9a²) /2 ≥ 3az ...(2)

(1) + (2)

(5 + 10a²) /2a ≥ √xy + 3z

取等條件: x² = y² = a²，z² = 9a² ⇒ a² = 1/2

所求 = 5√2

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當然，也可變通如下 (先不受限於 x² + y² + 2z² 的值，之後再縮放):

(x² + y² + 1 + 1) /4 ≥ √xy ...(1)

(z² + 9) /2 ≥ 3z ...(2)

取等條件: x² = y² = 1，z² = 9 ⇒ x² + y² + 2z² = 20 ⇒ 最後再除以√2

(1) + (2)

10 ≥ √xy + 3z

所求 = 10/√2 = 5√2