補個出處：

102 學年度台灣省北三區 (新竹高中) 高級中學數理及資訊學科能力競賽

http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html

\(\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow x^3-3x-1=0\Rightarrow x-x^{-1}=3\)

\(\Rightarrow \displaystyle x+x^{-1}=\sqrt{\left(x-x^{-1}\right)^2+4}=\sqrt{13}\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+x^{-2}=\left(x-x^{-1}\right)^2+2=11\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^3+x^{-3}=\left(x+x^{-1}\right)^3-3\cdot x\cdot x^{-1} \left(x+x^{-1}\right)=10\sqrt{13}\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^5+x^{-5}=\left(x^3+x^{-3}\right)\left(x^2+x^{-2}\right)- \left(x+x^{-1}\right)=109\sqrt{13}\)

所求＝\(\displaystyle \frac{x^{10}+x^8+x^2+1}{x^{10}+x^6+x^4+1}=\frac{x^5+x^3+x^{-3}+x^{-5}}{x^5+x+x^{-1}+x^{-5}}=\frac{119}{110}.\)

"第一個" 1前面必然都非1，
第一個1之後的下一個數字，非1的機率為5/6。