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小 發表於 2015-8-19 00:14 顯示全部帖子
回復 4# leo790124 的帖子
個人覺得 leo 老師的構思非常精巧，是可行的。論證如下，請各位高明看看是否成立。
如上圖，AC 是圓 O 的直徑，BD 為一弦，則 a² + b² + c² + d² = 2*AC² (半圓含直角)，與 BD 之長度，位置無關。
(若 AC 與 BD 皆為非直徑的弦，則即使 AC 與 BD 長度固定，a² + b² + c² + d² 並不是定值)
因若 a, b, c > 0，且滿足 a² + b² - 2ab*cosθ = c² (0 < θ < 180°)，則 a, b, c 必可構成一三角形，且 a, b 邊之夾角為 θ ;
所以我們可以不失一般性地，把題目條件構成如下圖，使 BD = 1，∠BCD = 120°，∠BAD = 60°；則 A, B, C, D 共圓 (O 是圓心)，且該圓半徑 = 1/√3 (∠BOD = 120°)。
由托勒密定理，AC*BD = ac + bd ⇒ AC = 2/√3，故 AC 是直徑。則依上文紅字部分所述， a² + b² + c² + d² = 2*AC² = 8/3 。
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