6.
平面\( E \)方程式為\( x+y+z=1 \)，設\( L \)為平面\( E \)與\( xy \)平面的相交直線，假設平面\( E \)以\( L \)為軸旋轉\( \theta \)角後通過點\( (1,1,-2) \)，求\( cos \theta= \)？

平面E以L為轉軸過(1,1, -2), 又L過(1,0,0),(0,1,0)
所以新平面過(1,0,0),(0,1,0),與(1,1, -2),
其法向量為(2,2,1), 又E的法向量為(1,1,1)
接下來為求cos就用向量可得

2.
求和：\( \displaystyle \left[ \frac{1}{3} \right]+\left[ \frac{2}{3} \right]+\left[ \frac{2^2}{3} \right]+\ldots+\left[ \frac{2^{100}}{3} \right]= \)？其中\( [x] \)為高斯函數。

為考古題, 請會C-tex的老師寫
\( \displaystyle \left[ \frac{1}{3} \right]+\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \)，\( \displaystyle \left[ \frac{2}{3} \right]+\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \)
\( \displaystyle \left[ \frac{2^2}{3} \right]+\frac{1}{3}=\frac{2^2}{3} \)，\( \displaystyle \left[ \frac{2^3}{3} \right]+\frac{2}{3}=\frac{2^3}{3} \)
\( \displaystyle \left[ \frac{2^4}{3} \right]+\frac{1}{3}=\frac{2^4}{3} \)，\( \displaystyle \left[ \frac{2^5}{3} \right]+\frac{2}{3}=\frac{2^5}{3} \)
\( \ldots \)
\( \displaystyle \left[ \frac{2^{98}}{3} \right]+\frac{1}{3}=\frac{2^{98}}{3} \)，\( \displaystyle \left[ \frac{2^{99}}{3} \right]+\frac{2}{3}=\frac{2^{99}}{3} \)
\( \displaystyle \left[ \frac{2^{100}}{3} \right]+\frac{1}{3}=\frac{2^{100}}{3} \)，
把上101式相加可得