(2015.7.2 11:39 PM 更新)
先謝謝樓下 寸絲老師的說明。我把這題的個人想法改寫得簡潔些:
先考慮一個問題: 區間 [ 0, a ]，將之 n 等分，考慮以下各等分點 (a/n，2a/n，...，na/n) 之 "平方的算數平均"，當 n → ∞，該值 = a² /3。除了用極限算，從大家熟悉的: 圓錐體積 = (1/3)*(同底同高之圓柱體積)，亦可體會出這個事實。
以下借用 bugmens 老師的圖:
要考慮的是第一象限處，x < 4 部分的所求面積。先設想柵欄是個正多邊形，A 是一個頂點。當牛從 (4, 6) 處開始，逆時針拉緊繩子走，掃過的面積為若干個扇形面積和 (扇形半徑依次減少一個邊長)。 現在柵欄改為圓形 (正多邊形的極致)，由於圓的曲率各處相等，上述的面積成為
"半徑由 6 (依旋轉角) 等速遞減至 0 的無窮多個小扇形面積和"; 又扇形面積 = r²θ /2，我們將連續變化的 r² 以其平均 (6² /3) 代之 (依上文)。而 r 由 6 至 0，總旋轉角 = (3/2) 弧度。
因此，第一象限處，x < 4 部分的所求面積 = Σ r²θ/2 = (6²/3)*(3/2)*(1/2) = 9。
由是，牛所能移動的最大面積 = 18+18π 。
即使繩子再長些，使牛可至第二象限，作法亦同。
[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-7-2 11:40 PM 編輯 ]
