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104新豐高中

回復 4# son249 的帖子

# 3 樓所 po 的5,解出來 x 的實部的確是 \( -\frac12 \)

wolframalpha solve \(5x^4+10x^3+10x^2+5x+1=0\)
http://www.wolframalpha.com/inpu ... B10x^2%2B5x%2B1%3D0
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回復 17# whzzthr 的帖子

#15 樓不是已經證完了嗎?

如果不用絕對值的話,可以改寫如下

\( {\color{red}x^{5}}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1={\color{red}x^{5}} \)

\( \Rightarrow (x+1)^5 = x^5 \),

易驗 \( x=0 \) 不是解,故 \( (1+\frac1x)^5 = 1 \Rightarrow 1+\frac1x \) 為 1 的 5 次方根

令 \( 1 + \frac1x = \cos \theta + i \sin \theta \),則 \( \displaystyle x = \frac{1}{\cos\theta-1+i\sin\theta} = \frac{\cos\theta-1-i\sin\theta}{\cos^{2}\theta-2\cos\theta+1 + \sin^{2}\theta}=\frac{\cos\theta-1-i\sin\theta}{2 -2\cos\theta} \)

故 \( x \) 的實部為 \( \displaystyle \frac{\cos\theta-1}{2 - 2\cos\theta} = -\frac12 \)
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