圓柱體這題 101彰化高中、中和高中，102北市陽明高中，103武陵高中都考過

所求為平面\(z=x\)與圓柱\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)及\(z=0\)所圍成的區域的上半部
其縱切面是等腰直角三角形
底=高=\(\sqrt{{{2}^{2}}-{{y}^{2}}}\)，面積為\(\displaystyle \frac{4-{{y}^{2}}}{2}\)

體積\( \displaystyle =\int_{-2}^{2}{\frac{4-{{y}^{2}}}{2}dy=}\left( 2y-\frac{1}{6}{{y}^{3}} \right)\left| \begin{matrix}
   2  \\
   -2  \\
\end{matrix} \right.=\frac{16}{3}\)

第1題
\( \displaystyle \frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}\le \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}}<2-\frac{1}{n}<2\)
可用數學歸納法

第2題
https://math.pro/db/thread-1399-1-1.html

第4題
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=13268#p13268

另一題不等式
設\(x=a+b,a\in z,0\le b<1\)代入去解，先解出b的範圍，再找出a值...

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-6-25 11:05 AM 編輯 ]

第1題
這樣證，簡捷一些
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}} \\
& \le \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \\
& <1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{\left( n-1 \right)\times n} \\
& =1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\cdots +\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right) \\
& =2-\frac{1}{n} \\
& <2 \\
\end{align}\)

高斯那題
\(\begin{align}
  & 3{{b}^{2}}+6\left( a+1 \right)b+\left( 3{{a}^{2}}-4 \right)<0 \\
& -a-1-\frac{\sqrt{18a+21}}{3}<b<-a-1+\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
&  \\
& 0\le b<-a-1+\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& a+1<\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& a=-1,0,1 \\
& ... \\
\end{align}\)


第5題
可令\(x=y-\frac{1}{2}\)代入原方程，可整理成\(80{{y}^{4}}+40{{y}^{2}}+1=0\)