回復 2# 瓜農自足 的帖子
#2 樓圖中 \( \overline{EF} = \frac{2mn}{m+n} \) 即 #1 樓中的 \( \overline{HF} \)
#1 樓 ③ 的等比 \( \Rightarrow \overline{MF}^2 = \overline{PF} \times \overline{QF} \)
用 \( m,n \) 表示則為 \( \overline{MF}^2 = mn \)
故 \( \frac{2\overline{MF}^2}{\overline{HF}} = \displaystyle \frac{2mn}{\frac{2mn}{m+n}} = m+n = \overline{PQ} \)
另證. 對 \( m,n \) 及 \( \frac1m, \frac1n \) 分別使用算幾不等式可得
\( \frac{m+n}{2} \geq \sqrt{mn} \geq \frac{2}{\frac1m + \frac 1n} \)
由 #2 圖中結果得 \( \frac{m+n}{2} \geq \frac{2}{\frac2p} = p \), 故焦弦長 \( m+n \geq 2p = \) 正焦弦長
