第2題
第2題
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
[證明]
\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1\)
\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2-\frac{1}{4}x^2+x^2+x+1\)
\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}x^2+x+1\)
\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}(x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9})+1-\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}(x^2+\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}\)
∴\(f(x)\)恆正即\(f(x)=0\)無實根
