第 15 題
令\(\displaystyle N=\sum_{k=1}^{2015}k\left[log_2 k \right]\),其中\(\left[log_2 k \right]\)表不大於\(log_2 k\)的最大整數,試問\(N\)除以1000的餘數為 。
N = S1 - S2,其中:
S1 = 10*(1 + 2 + ... + 2015)
S2 = (n =1 to 10) ∑ [1 + ... + (2ⁿ-1) ] = ∑ (2²ⁿ - 2ⁿ) /2
S1 = 10*(1/2)*2015*2016 ≡ 10*(1/2)*15*16 ≡ 10*20 ≡ 200 (mod 1000)
S2 = (1/3)*2*(4¹° - 1) - 1023 ≡ (1/3)*2*1025*1023 - 1023 ≡ (1/3)*2*25*23 - 23 ≡ (1/3)*150 - 23 ≡ 50 - 23 ≡ 27 (mod 1000)
N = S1 - S2 ≡ 200 - 27 ≡ 173 (mod 1000)