2. 證明 x⁸ - x⁵ + x² + x + 1 = 0 沒有實根。

這個題目的係數有"投機取巧"的方法 :

i. 當 |x| ≥ 1，原式左 = ( x⁸- x⁵) + (x² + x) + 1 ≥ 0 + 0 + 1 > 0

ii. 當 |x| < 1，原式左 = (1 + x ) + (x² - x⁵) + x⁸> 0 + 0 + 0 = 0

得證。

109.5.30補充
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
(109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html)

110.2.27補充
對於實數\(x\)，求證\(\displaystyle x^8-x+\frac{3}{4}\)恆大於0。
(建中通訊解題第145期)

第 15 題
令\(\displaystyle N=\sum_{k=1}^{2015}k\left[log_2 k \right]\)，其中\(\left[log_2 k \right]\)表不大於\(log_2 k\)的最大整數，試問\(N\)除以1000的餘數為　　　。

N = S1 - S2，其中:

S1 = 10*(1 + 2 + ... + 2015)

S2 = (n =1 to 10) ∑ [1 + ... + (2ⁿ-1) ] = ∑ (2²ⁿ - 2ⁿ) /2


S1 = 10*(1/2)*2015*2016 ≡ 10*(1/2)*15*16 ≡ 10*20 ≡ 200 (mod 1000)

S2 = (1/3)*2*(4¹° - 1) - 1023 ≡  (1/3)*2*1025*1023 - 1023 ≡ (1/3)*2*25*23 - 23 ≡ (1/3)*150 - 23 ≡ 50 - 23 ≡ 27 (mod 1000)

N = S1 - S2 ≡ 200 - 27 ≡ 173 (mod 1000)