第10題

想法1: 利用乘法原理分類討論:

所求 =

104成德高中第10題.png (6.08 KB)

2015-6-26 06:00

想法2: 數字化

題意同: 有8個相異的格子點，x 坐標分別為 1,2,3,4 者恰 2 個，y 坐標分別為 1,2,3,4 者恰 2 個。

先把 x 坐標依序排好，再排列 y 坐標與之配對; 注意相同的 y 不能配相同的 x (此限制可用討論法，則會類似上面的圖解; 或用排容原理處理)

這裡另嘗試用遞迴關係考慮:  若 n x n 白色方格版塗上黑色方格，使得每一行與每一列正好有兩個黑色方格的方法數為 An，依上述思維，有:

An = C(n,2)*[ 2*An-1 + (n-1)*An-2 ]  (先把 2 個 y = n 分給 2 個相異的 x，剩下的 x,y 可與 An-1 及 An-2 建立關係)

易得 A2 = 1，A3 = 3! = 6，所求即 A4 = C(4,2)*(2*6 + 3*1) = 90

依此，A5 = 10*(2*90 + 4*6) =  2040，A6 = 15*(2*2040 + 5*90) = 67950

( 5x5 以上若用排容原理，計算的數字會很大)

第9題
另一個構思供參考:
若所求期望值為 n，則 (n+1) 為首次卡住的圈數期望值。
繞一圈卡住的機率是 1 - (9/10)*(20/21) = 1/7 或 (1/10)+(1/21) - (1/10)*(1/21) = 1/7
因此，首次卡住的圈數期望值 = 7 ( p → 1/p )
故所求 = 7-1 = 6