(續) 計算證明 3，初次解這類題目是在高中，當時物理學正教授幾何光學，因此有想過這種題目可以利用費馬原理來解。

由於光在介質中的速率與其折射率成反比，因此時間最短的光程即各介質折射率與在該介質路程乘積和的最小值。與本題比較，則"折射率"即為 1 與 n。即本題轉化為: 一光束在折射率 = 1 的介質中由 A 行進至 D，再於折射率 = n 的介質中由 D 行進至 B。若選擇 D 使該路徑符合折射的司乃耳定律 (n1sinθ1 = n2sinθ2)，則該 D 點即為所求。

不過，在用這種想法之前要注意到: 不同於"一般的折射問題"(其必存在符合司乃耳定律的路徑)，本題由於限制了入射角 = 90°，因此符合上述條件的 D 點未必存在 (即當 n 小於某值，使折射角 >∠ABC 時)，而這種情形下的 D 點即應取在A (註)。計算這個臨界 n 值: 1*1 = n*(7/ √74)，即 n = √74/7。

而在 n ≥ √74/ 7 時，令所求的 DC = x 公里，BD = √(x² + 25) 公里，則依司乃耳定律，有:

1*1 = n*(x/√(x² + 25))

得 x = 5/√(n² -1)

綜上:

當 n  ≥ √74/ 7， DC =  5/√(n² -1) 公里

當 1 < n < √74/ 7， DC =  7 公里 (即 D=A)


註: 當 1 < n < √74/ 7，符合司乃耳定律的折射角 >∠ABC 時，如圖:

104松山家商計算證明第3題.png (4.52 KB)

2015-6-14 06:02

以 A 為中心，將 B 旋轉至"恰符合司乃耳定律"之 B' (即路徑 AB' 為理論上的折射線: 1 = n*cos∠B'AC)。因 A 在 BB' 的中垂線上，故 DB' < DB。由費馬原理，n*AB' < AD + n*DB'，從而 n*AB < AD + n*DB，因此這時的 D 點應取在A。

引用:

原帖由 cefepime 於 2015-6-13 11:29 PM 發表
當 1 < n < √74/ 7， DC =  7 公里 (即 D=A)

這樣的話，沒有走到水路，跟題目的 "可使由 A 城市經水路至 D 處，再由 D 處經公路至 B 點的總運費最小" 不合

cefepime 兄真是博學多聞

忘了1/2，老是粗心真不好意思，謝謝鋼琴老師

C兄的另解真有意思，雖然有思考n倍的用處，但完全想不到如何下手，物理太差了

謝謝鋼琴老師的高見。

這個問題其實我有考慮過，不過思及 1. 純用微分或費馬原理解出 5/√(n² -1) 的過程，其實完全不必用到 AC = 7 公里這個條件 (或者說，無論 AC 距離為何皆為此答案)，那麼題目給出這個條件的目的為? (莫非就是想考解題者是否有想到討論特別情況? 畢竟實際生活應用上，AC必定是個確定的值，從而不一定適合於上述得到的答案);  2. 題目只說 "n 是大於1 的實數"，這使 x = 5/√(n² -1) 與 AC = 7 公里不能完全相容，1 < n < √74/ 7 時無法交代; 3. 實際應用上，是為了節省運費，如果結論是"完全不走水路最省錢"，似亦無不可行之理; 4. 類似之前在別題有高明提出的"線上的點可對該線做出垂足嗎?"的情況，有時公布的答案是否完全符合題目敘述或有疑義; 本題沒有走到水路的情形是否也可類比?

或許是自己的胡思亂想，看看學校會不會公布答案好了。