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104新北市高中聯招

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選擇1.
設\( S=\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \),\( m \)表示\( S \)中任意兩個非空互斥子集合的總對數,若\( m \)除以10000的餘數為四位數\( abcd \),則\( a+b+c+d \)之值為何?
(A)13 (B)13 (C)12 (D)10
(2002AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_9)


填充1.
已知\( P \)為正方形\( ABCD \)內部一點,若\( \overline{AP}=7 \),\( \overline{BP}=5 \),\( \overline{CP}=1 \),則正方形ABCD之面積為?
(95北港高中,97玉井工商,100彰化藝術高中暨田中高中都考過這題)
(weiye解題,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)


填充7.
已知存在一正整數\( n \),使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5} <\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)?
[解]
\( f(x)=cos(x) \)的泰勒展開式為\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} \ldots \),\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.8254 \)
因為題目只要小數點以下第一位,所以代\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!} \),\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.82 \)也是正確的

\( \displaystyle \frac{2 \pi}{7} \)是特別角,所以有特別的方法
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \),\( n \in N \),則\( n= \)
(99建國中學,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)


填充8.
設正實數\( x \)、\( y \)、\( z \)滿足\( \displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{49}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{49}} \),\( \displaystyle y=\sqrt{x^2-\frac{1}{64}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{64}} \),\( \displaystyle z=\sqrt{x^2-\frac{1}{81}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{81}} \),則\( x+y+z= \)?

設實數x、y、z滿足,\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \),且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \),其中m、n是正整數,且n不能被任何質數的平方整除,試求\( m+n \)之值。
(2006AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)


填充10.
在環\( Z[x] \)上,因式分解\( x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18 \)

方程式\( 2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=0 \),方程式的最大實根為?
(101松山工農,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7644)


104.7.5補充
填充4.
已知\( \alpha>0 \),且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數,求\( \alpha= \)?
(出自99高中數學能力競賽 第二區(新店高中)筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)

104.12.6補充
填充5.
假設\( a=\sqrt{2}+1 \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} \)。比較\( a,b,c \)大小為何?
(出自100高中數學能力競賽 第二區(新店高中)口試試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-9.html)

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