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104新北市高中聯招

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選擇2.
下列何者對質數的敘述為真?
(A)最大的質數大約是\( 10^{2^{37}} \)位數
(B)\( 7663 \)為一質數
(C)存在一奇質數\( p \),使得\( p \)和\( p+2 \)不互質
(D)對所有奇質數\( p \),存在整數對\( (a,b) \),使得\( 6a+bp=3 \)成立
[解答]
(D)原式移項後\( bp=-3(2a-1) \),對任意奇實數\( p \),可以選\( \displaystyle a= \frac{p+1}{2} \),\( b=-3 \)


選擇3.
設直線\( y=kx+1 \)與曲線\( x^2+y^2+kx-y=4 \)的兩個交點\( (x_1,y_1) \)、\( (x_2,y_2) \)對於直線\( y=x \)對稱,且\( x_1 \neq x_2 \),則\( x_1+x_2+y_1+y_2= \)?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
[解答]
\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \)對稱於\( y=x \),表示\( y=kx+1 \)與\( y=x \)垂直,可得\( k=-1 \)
代入\( k=-1 \)即可求出\( x_1,x_2,y_1,y_2 \)

選擇5
有一圓半徑為1,圓心為\( O \),線段\( \overline{AB} \)切圓於\( A \),已知\( ∠AOB=\theta \),若\( ∠ABO \)之角平分線\( \overline{BC} \)交\( \overline{OA} \)於\( C \),則\( \overline{OC} \)長為?
(A)\( sec \theta-tan \theta \) (B)\( \displaystyle \frac{tan \theta}{1+sin \theta} \) (C)\( \displaystyle \frac{1}{1+sin \theta} \) (D)以上皆非
[解答]
如圖,因內分比,\( \overline{OC}:\overline{CA}=\overline{BO}:\overline{BA}=sec \theta:tan \theta \)
所以\( \displaystyle \overline{OC}=\frac{sec \theta}{sec\theta+tan \theta}=\frac{1}{1+sin \theta} \)

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