選擇2.
下列何者對質數的敘述為真？
(A)最大的質數大約是\( 10^{2^{37}} \)位數
(B)\( 7663 \)為一質數
(C)存在一奇質數\( p \)，使得\( p \)和\( p+2 \)不互質
(D)對所有奇質數\( p \)，存在整數對\( (a,b) \)，使得\( 6a+bp=3 \)成立
[解答]
(D)原式移項後\( bp=-3(2a-1) \)，對任意奇實數\( p \)，可以選\( \displaystyle a= \frac{p+1}{2} \),\( b=-3 \)
選擇3.
設直線\( y=kx+1 \)與曲線\( x^2+y^2+kx-y=4 \)的兩個交點\( (x_1,y_1) \)、\( (x_2,y_2) \)對於直線\( y=x \)對稱，且\( x_1 \neq x_2 \)，則\( x_1+x_2+y_1+y_2= \)？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
[解答]
\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \)對稱於\( y=x \)，表示\( y=kx+1 \)與\( y=x \)垂直，可得\( k=-1 \)
代入\( k=-1 \)即可求出\( x_1,x_2,y_1,y_2 \)
選擇5
有一圓半徑為1，圓心為\( O \)，線段\( \overline{AB} \)切圓於\( A \)，已知\( ∠AOB=\theta \)，若\( ∠ABO \)之角平分線\( \overline{BC} \)交\( \overline{OA} \)於\( C \)，則\( \overline{OC} \)長為？
(A)\( sec \theta-tan \theta \) (B)\( \displaystyle \frac{tan \theta}{1+sin \theta} \) (C)\( \displaystyle \frac{1}{1+sin \theta} \) (D)以上皆非
[解答]
如圖，因內分比，\( \overline{OC}:\overline{CA}=\overline{BO}:\overline{BA}=sec \theta:tan \theta \)
所以\( \displaystyle \overline{OC}=\frac{sec \theta}{sec\theta+tan \theta}=\frac{1}{1+sin \theta} \)
