回復 24# thepiano 的帖子
想通了!
謝謝
補充想通後的解法 真得很感謝thepiano大
第17題
17.
給定一個正整數\(N\)定義\(\displaystyle f(N;x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\)，
其中\(a_0\)為\(N\)的個位數字，\(a_1\)為\(N\)的十位數字...，\(a_n\)為\(N\)的最高位數
例如：\(f(3456;x)=6+5x+4x^2+3x^3\)，而\(f(3456;1)=6+5\times 1+4\times 1^2+3\times 1^3=18\)
若\(M=12345678910111213\ldots \ldots20142015\)
令\(b_1=f(M;2)\)，\(b_{j+1}=f(b_j;2)\)其中\(j=1,2,3,4,\ldots\)，試求\(\displaystyle \lim_{j \to \infty}b_j=\) 。
[解答]
先舉個簡單例子 如f(abcd;2)
f(abcd;2)=d+c*2+b*2^2+a*2^3
原本abcd可表示成 d+c*10+b*10^2+a*10^3
則 abcd-f(abcd;2) 會是8的倍數 即 abcd=f(abcd;2) (mod 8)
因此 M=b(1)=b(2)=....=b(n) (mod 8)
當n夠大時 b(n)會是個位數
M (mod 8) = 7
7+8=15 & 7-8=-1 非個位數 所以只有一解7
