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104板橋高中

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回復 4# EZWrookie 的帖子

(3)
空間中兩直線\(L_1\):\(\displaystyle \frac{x-6}{-2}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-5}{-1}\)與\(L_2\):\(\displaystyle \frac{x+2}{-4}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-7}{4}\)的其中一條分角線方程式為\(\displaystyle \frac{x-6}{4}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{d}\),求\(b+c+d=\)   
[提示]
找交點,找分角線方向

(9)
設\(a,b,c\)為實數,二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)的二根為\(\alpha,\beta\),其中\(-1\le \alpha \le 0\),\(1\le \beta \le 2\),若\(2a+b+c=4\),且\(a\ge 2\ge b\ge -8\),則\(a+3b+2c\)的最小值為   
[解答]
由 \( a>0 \) 知函數 \( f(x) = ax^2+bx+c \) 之圖形為開口向上的拋物線

又 \( f(x) = 0 \) 之兩根 \( \alpha, \beta \),故 \( f(-1) \geq 0, f(0) \leq 0, f(1) \leq 0, f(2) \geq 0 \)。

故 \( a,b \) 滿足  \( f(-1) \geq 0, f(0) \leq 0, f(1) \leq 0, f(2) \geq 0 \) 及 \( a\geq2 \), \( 2\geq b \geq -8 \)

以 \( c = 4 -2a -b \) 替換,可得一線性規劃問題(變數為 \( a,b \) ),以頂點法可找到最小值
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回復 13# farmer 的帖子

第2題.
設\(O\)為坐標平面的原點,若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸,\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點,則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時,\(\Delta OAB\)的面積為   
[提示]
腦補細節,或許 tuhunger 老師原本的想法更妙

先取 \( O' \) 滿足 \( \overline{O'P} = O' \) 到 \( x, y \) 軸的距離,如 #11 樓的計算得 \( O'(6,6) \)

做圓 \( O' \) 與 \( L \) 相切,因 \( \overline{O'P} = 6 \),故此圓之半徑 \( \leq 6 \),此圓落在第一象限之內或與坐標軸相切。

過 \( A, B \) 分別對圓 \( O' \) 做另一條異於 \( L \) 之切線,分別切圓 \( O' \) 於 \( R, S \)

則有 \( \overline{AR} + \overline{BS} = \overline{AB} \) (切線段長相等)

故\( \triangle OAB \) 之周長 \( = \overline{OA} + \overline{AR} + \overline{OB} + \overline{BS} \)

令 \( r \) 為圓 \( O' \) 之半徑 \( (\alpha,0) \) 為 \( A \) 之坐標,則 \( \overline{AR} = \sqrt{ 6^2 + (6-\alpha)^2 - r^2} \geq |6-\alpha| \)

因此 \( \overline{OA} + \overline{AR} \geq \alpha + |6-\alpha| \geq 6 \)

同理 \( \overline{OB} + \overline{BS} \geq 6 \)

綜合兩不等式有 \( \triangle OAB \) 之周長 \( \geq 12 \) 且當 \( L \) 與圓 \( O' \) 相切於 \( P \) 點時等號成立。
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