發新話題
打印

104板橋高中

回復 2# jkliopnm 的帖子

2.
設\(O\)為坐標平面的原點,若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸,\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點,則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時,\(\Delta OAB\)的面積為   
[提示]
當 A(3,0),B(0,4) 時,△OAB 有最小周長 12,此時 △OAB = 6

TOP

回復 10# jyi 的帖子

第2題
設\(O\)為坐標平面的原點,若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸,\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點,則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時,\(\Delta OAB\)的面積為   
[解答]
作PC垂直OA於C,PD垂直OB於D
令\(\angle BAO=\theta \)
\(\begin{align}
  & PC=\frac{12}{5},PD=\frac{6}{5} \\
& AC+AP=\frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right) \\
& BD+BP=\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right) \\
\end{align}\)
周長\(=\frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right)+\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right)+\frac{18}{5}\)
令\(\tan \frac{\theta }{2}=t\ \left( 0<t<1 \right)\)
\(\begin{align}
  & \frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right)+\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\times \left( \frac{1-{{t}^{2}}}{2t}+\frac{1+{{t}^{2}}}{2t} \right)+\frac{6}{5}\times \left( \frac{2t}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}} \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\times \left( 1+\frac{1-t}{t} \right)+\frac{6}{5}\times \left( 1+\frac{2t}{1-t} \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\left( \frac{1-t}{t}+\frac{t}{1-t} \right)+\frac{36}{5} \\
& \ge \frac{24}{5}+\frac{36}{5} \\
& =12 \\
\end{align}\)
等號成立於\(t=\frac{1}{2}\)
此時\(OA=3,OB=4,\Delta OAB=6\)

TOP

回復 12# farmer 的帖子

\(\begin{align}
  & b\times \left( \frac{1-{{t}^{2}}}{2t}+\frac{1+{{t}^{2}}}{2t} \right)+a\times \left( \frac{2t}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}} \right)+a+b \\
& =b\times \left( 1+\frac{1-t}{t} \right)+a\times \left( 1+\frac{2t}{1-t} \right)+a+b \\
& =\frac{b\left( 1-t \right)}{t}+\frac{2at}{1-t}+2a+2b \\
& \ge 2\sqrt{2ab}+2a+2b \\
\end{align}\)
周長的最小值為\(2\sqrt{2ab}+2a+2b\)
(1)當\(2a=b\)時,等號成立於\(t=\frac{1}{2}\),此時面積為\(\frac{1}{2}\left( a+\frac{3}{4}b \right)\left( b+\frac{4}{3}a \right)=ab+\frac{2}{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{8}{{b}^{2}}\)
(2)當\(2a>b\)時,等號成立於\(t=\frac{-b+\sqrt{2ab}}{2a-b}\),此時面積小弟不想算,留給有耐心的人,不會是\(ab+\frac{2}{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{8}{{b}^{2}}\)就是了
(3)當\(2a<b\)時,等號成立於\(t=\frac{-b-\sqrt{2ab}}{2a-b}\)

TOP

回復 23# windin0420 的帖子

第 13 題
前面有

第 17 題
考慮 mod 8

TOP

回復 31# 阿光 的帖子

TOP

回復 34# anyway13 的帖子

TOP

發新話題