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回復 4# jyi 的帖子

(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)由(1)之結果,證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3\of{abc}\)。
(3)設\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)且\(a+b+c=18\),由(2)之結果,試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時
之\(a,b,c\)之值。
[解答]
計算1(3) 沒錯,你是對的。題目出錯了,我來負責這個錯的題目

因 \( a>0, b>0 \),所以有
\( (a+1)(b+2) = ab + 2a + b + 2 > a+b+2 \)

同樣的 \( a,b,c > 0 \) 也有
\( (a+b+2)(c+3) = ac + bc + 2c + 3a +3b +6 > 2a + 2b +2c + 6 = 42 \)

故 \( (a+1)(b+2)(c+3) > 42 \)

取 \( a=b, c = 18-2a \),當 \( a \to 0 \) 時,\( (a+1)(b+2)(c+3) \to 2\cdot 21 =42 \)

由以上兩式,知 42 為最大小界,且 \( (a+1)(b+2)(c+3) \) 恆大於 42

故在此限制條件下,\( (a+1)(b+2)(c+3) \) 無最小值
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回復 18# terry90618 的帖子

計算2.
\(\Delta ABC\)中,若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\),\(∠B=54^{\circ}\),則\(∠C=\)?
相關考古題

100南科實中  \( \triangle ABC \) 中,若 \( (\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\overline{AB}\times\overline{BC} \),\( \angle BAC=63^{\circ} \),求 \( \angle ABC \)。
解答見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1153&page=1#pid3711

97台中一中 \( \triangle ABC \) 中,已知 \( (\overline{AC}+\overline{AB})\cdot(\overline{AC}-\overline{AB})=\overline{AB}\cdot\overline{BC} \) 且 \( \angle BAC=75^{\circ} \),求 \( \angle ABC \)。

100卓蘭實中、98嘉義高中 已知 \( \triangle ABC \) 中最大角 \( \angle A \) 是最小角 \( \angle B \) 的 2 倍,且三邊長為連續的自然數,求 \( \triangle ABC \) 的三邊長。

100嘉義縣聯招 今有一三角形,其三邊長為連續整數且有一角另之兩倍。求此三角三邊長。
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