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回復 7# arend 的帖子

單選第1題
設\(a_n=\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2 \times 3}+\ldots+\sqrt{n(n+1)}\),求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}\)之值為(A)0 (B)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
[提示]
\(1+2+3+\cdots +n<{{a}_{n}}<2+3+4+\cdots +\left( n+1 \right)\)

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回復 7# arend 的帖子

單選第 7 題
小明口袋裡有2個白球,大華口袋裡有3個紅球,現在兩人自口袋裡隨機取一個球和對方交換,求交換三次後,小明口袋裡有1白球1紅球的機率為(A)\(\displaystyle \frac{17}{36}\) (B)\(\displaystyle \frac{19}{36}\) (C)\(\displaystyle \frac{23}{36}\) (D)\(\displaystyle \frac{25}{36}\)
[解答]
用馬可夫鏈可做,但小弟懶得寫交換矩陣,交換三次而已,直接做

第一次交換後,小明必為一白一紅,大華必為一白二紅
第二次和第三次交換後,小明仍為一白一紅的情形有
(第二次小明拿出,第二次大華拿出)、(第三次小明拿出,第三次大華拿出)
(白,白)、(白,白):機率 (1/2)(1/3)(1/2)(1/3) = 1/36
(白,白)、(紅,紅):機率 (1/2)(1/3)(1/2)(2/3) = 2/36
(白,紅)、(紅,白):機率 (1/2)(2/3)(1)(2/3) = 8/36
(紅,白)、(白,紅):機率 (1/2)(1/3)(1)(1) = 6/36
(紅,紅)、(白,白):機率 (1/2)(2/3)(1/2)(1/3) = 2/36
(紅,紅)、(紅,紅):機率 (1/2)(2/3)(1/2)(2/3) = 4/36
加起來是 23/36

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回復 26# iammark 的帖子

應是
\(\begin{align}
  & {{\overline{{{G}_{1}}{{G}_{3}}}}^{2}}\text{=}\frac{1}{6}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+\frac{\sqrt{3}}{3}bc\sin A \\
& =\frac{1}{6}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+\frac{2\sqrt{3}}{3}\Delta ABC \\
& =\frac{1}{6}\left( 21+27+3 \right)+\frac{2\sqrt{3}}{3}\times \frac{9\sqrt{3}}{4} \\
& =13 \\
\end{align}\)

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回復 33# idontnow90 的帖子

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