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104全國聯招

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104全國聯招

雖然沒考到
還是放上來討論一下^^

2015.05.14 weiye 註:官方公告疑義申複結果,填充題第 3 題 「1235」或「無解」均給分

附件

104全國聯招.pdf (406.88 KB)

2015-5-10 20:35, 下載次數: 9747

104全國聯招試題疑義.pdf (395.47 KB)

2015-5-26 07:39, 下載次數: 7031

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引用:
原帖由 johncai 於 2015-5-9 02:14 PM 發表
雖然沒考到
還是放上來討論一下^^
填2:  (秒殺題)  
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}=\)   
[解答]
原式=∫ {0 to 1}  (1-x^2)^0.5 dx
所求=半徑1的圓面積*(1/4)
=Pi/4

計算1 :
(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)由(1)之結果,證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3 \of{abc}\)。
(3)設\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)且\(a+b+c=18\),由(2)之結果,試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時之\(a\),\(b\),\(c\)之值。
[解答]
(1)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
法1:行列式法
參考10樓
(2)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
    =(a+b+c)(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
所以a^3+b^3+c^3>=3abc
(a^3+b^3+c^3)/3>=abc----------(*)
令A=a^3 ,B=b^3 ,C=c^3 代入(*)
(3) [(a+1)+(b+2)+(c+3)]/3 >=[(a+1)(b+2)(c+3)]^(1/3)
  .....

計算2:
\(\Delta ABC\)中,若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\),\(∠C=\)?
[提示]
考古題(97中一中)
角C=(180度-54度)/3 =42度

計算3:
若\(x\)、\(y\)、\(z\)都是正數且滿足\(\displaystyle x+\frac{1}{y}=4\),\(\displaystyle y+\frac{1}{z}=1\),\(\displaystyle z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3}\),求\(xyz\)的值?
[解答]
x+1/y=4------------(1)
y+1/z=1------------(2)
z+1/x=7/3---------(3)
(1)*(2)*(3)
(x+1/y)(y+1/z)(z+1/x)=xyz+1/(xyz)+x+1/y+y+1/z+z+1/x=28/3
[令t=xyz]
t+1/t+4+1+7/3=28/3
解得t=xyz=1

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計算第一題(3)應該找最大值才對吧!

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計算第一題(3)Ellipse大的算法應該求到最大值!不知道我有沒有弄錯,請指正!

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多選第一題的A
貫軸跟共軛軸互換
不是
X=0→Y=0
Y=0→X=0
還是說他是問貫軸長跟共軛軸長?

已解決
原來貫軸長=貫軸
只是常看到的都是XX軸長
使我自己造成名詞的混淆了

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引用:
原帖由 jyi 於 2015-5-9 08:03 PM 發表
計算第一題(3)Ellipse大的算法應該求到最大值!不知道我有沒有弄錯,請指正!
Sorry,剛沒注意看.題目應該打錯了~
由(2)的結果是算最大值=512, 此時a =7, b= 6, c=5

此題無最小值~

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單選好難
請教(1)(3) (7)(8)
謝謝

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回復 4# jyi 的帖子

(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)由(1)之結果,證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3\of{abc}\)。
(3)設\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)且\(a+b+c=18\),由(2)之結果,試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時
之\(a,b,c\)之值。
[解答]
計算1(3) 沒錯,你是對的。題目出錯了,我來負責這個錯的題目

因 \( a>0, b>0 \),所以有
\( (a+1)(b+2) = ab + 2a + b + 2 > a+b+2 \)

同樣的 \( a,b,c > 0 \) 也有
\( (a+b+2)(c+3) = ac + bc + 2c + 3a +3b +6 > 2a + 2b +2c + 6 = 42 \)

故 \( (a+1)(b+2)(c+3) > 42 \)

取 \( a=b, c = 18-2a \),當 \( a \to 0 \) 時,\( (a+1)(b+2)(c+3) \to 2\cdot 21 =42 \)

由以上兩式,知 42 為最大小界,且 \( (a+1)(b+2)(c+3) \) 恆大於 42

故在此限制條件下,\( (a+1)(b+2)(c+3) \) 無最小值
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 7# arend 的帖子

單選第1題
設\(a_n=\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2 \times 3}+\ldots+\sqrt{n(n+1)}\),求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}\)之值為(A)0 (B)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
[提示]
\(1+2+3+\cdots +n<{{a}_{n}}<2+3+4+\cdots +\left( n+1 \right)\)

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計算1-(1)
試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
[解答]
法1:行列式法
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left|\ \matrix{a&c&b\cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=\left|\ \matrix{a+b+c&a+b+c&a+b+c \cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=(a+b+c)\left|\ \matrix{1&1&1\cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

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