13 我也算 -2

根與係數有
\( a^2 +b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 1^2 -4 = -3 \Rightarrow b^2 + c^2 = -3 -a^2 \)

\( x=a^2, b^2, c^2 \) 時下式左式之值皆為 1，又為二次以下多項式，故

\( \displaystyle \frac{(x-b^{2})(x-c^{2})}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{(x-a^{2})(x-c^{2})}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{(x-a^{2})(x-b^{2})}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})}=1 \)

因此 \( \displaystyle \frac{3+a^{2}}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{3+b^{2}}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{3+c^{2}}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})}=0=\frac{1}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{1}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{1}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})} \)
(平方項及一次項係數)

再用 \( a^3 = a^2 - 2a +3 \), (b, c 亦同) 化簡所求 \( = \displaystyle \frac{-2a}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{-2b}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{-2c}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})} = 2\frac{ab^{2}-ac^{2}-ba^{2}+bc^{2}+ca^{2}-cb^{2}}{(a-b)(b-c)(c-a)(1-c)(1-b)(1-a)} \)

其中 \( (a-b)(b-c)(c-a) = ab^2 - ac^2 - ba^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2 \)，故所求 \( = \displaystyle \frac{2}{(1-c)(1-b)(1-a)} \)

分母之值為原三次多項式以 \( x=1 \) 代入，故得 \( \frac{2}{-1} = -2 \)

證明2. 注意到 \( xy = \frac{xyz}{z} \), \( yz = \frac{xyz}{x} \), \( zx = \frac{xyz}{y} \)，又 \( x,y,z \) 皆正

因此 \( xy, yz, zx \) 的大小排序與 \( \frac1z, \frac1x,\frac1y \) 相同，而與 \( z,x,y \) 的大小排序恰相反

\( (xy)^2, (yz)^2, (zx)^2 \) 及 \( z,x,y, \) 由排序不等式 (逆序和 \( \leq \) 亂序和)

得 \( x^2y^2z + y^2z^2x +z^2x^2y \leq x^2y^2x + y^2z^2y + z^2x^2z = x^3y^2 + y^3z^2 + z^3x^2 \)

應該有很多種證法，算幾或柯西應該都是可以走的路，我只是單純想玩一下排序而已

再補一個算幾，

\( \frac{4x^{3}y^{2}+2y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}}{7}+\frac{x^{3}y^{2}+4y^{3}z^{2}+2z^{3}x^{2}}{7}+\frac{2x^{3}y^{2}+y^{3}z^{2}+4z^{3}x^{2}}{7}\geq x^{2}y^{2}z+y^{2}z^{3}x+z^{2}x^{2}y \)

其中 \( 4x^3y^2 = x^3y^2 + x^3y^2 + x^3y^2 + x^3y^2 \)，其它項亦同