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104桃園高中

回復 8# gamaisme 的帖子

17 題. 算是一個性質吧,考古題做一做,會發現出現不少次

101 中科實中、100文華代理、98清水高中、99高雄市聯招、97大里高中都考過

(1) 拋物線:\( y^{2}=4cx \),\( O \) 為拋物線頂點,直線 L  與拋物線交於兩點 A 、B ,且 \( \angle AOB=90^{\circ} \) ,證明:L  必過 \( P(4c,0) \)。     

(2) 過 P(2,1) 做直線 L 交拋物線:\( y=\frac{1}{5}x^{2} \) 於 A、B 兩點,且 \( \angle AOB=90^{\circ} \),求 L 方程式。     (101中科實中)

過點 \( P(1,2) \) 作一直線 L 與拋物線 \( y=\frac{1}{5}x^{2} \) 交於 A, B 兩點,O 表原點,若 \( \angle AOB \) 為直角,求直線 L 的方程式。     (100文華高中代理)

拋物線 \( \Gamma:\, y^{2}=4x \),其中 O 為原點。P, Q 為拋物線 \( \Gamma \) 上的兩點,已知 \( \overline{OP}\perp\overline{OQ} \),若 \( \overline{PQ} \) 恆過點 A,則點 A 的坐標為 __________。     (98清水高中)

設一拋物線 \( x^{2}=5y \) 之頂點 O 與一點 M(1,2),若過 M 之一直線交拋物線於 A, B 兩點且 \( \angle AOB=90^{\circ} \) ,求 \( \overleftrightarrow{AB} \) 方程式與 \( \overline{AB} \) 長。     (99高雄市聯招)

設點 A, B 為 \( \Gamma:\, y^{2}=4x \) 上除頂點 O 外兩相異動點,已知 \( \overline{OA}\perp\overline{OB} \),且 M 為 \( \overline{AB} \) 上的點,\( \overline{OM}\perp\overline{AB} \),求 M 的軌跡方程式。     (97大里高中)
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97 大里高中,當然不只一個點。

拋物線的問題,如果不是直角,用 Geogebra 畫圖模擬其它角度,顯然沒有過定點,看起來弦的軌跡是一個橢圓的包絡線。
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回復 23# EZWrookie 的帖子

一樣畫葫蘆,看個更熟悉的例子,做一遍同樣的"錯誤"

在周長為 20 的矩形中,求矩形面積的最大值。

正解. 令長為 x,寬為 y,則有 \( \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \Rightarrow xy\leq 25 \)

          當 \( x =y =5 \) 達上界 25,即最大面積為 25

錯解. 令長為 x,寬為 y,則有 \( \frac{2x+y}{2} \geq \sqrt{2xy} \)

         取 \( y = 2x \) 時等號成立,得 \( x = \frac{10}{3}, y = \frac{20}{3} \) 時上行算幾不等式等號成立

         故得最大面積 \( \frac{10}{3} \times \frac{20}{3} = \frac{200}{9} \)

最後,記得復習一下最大值的定義(意義)

P.S. 除了最大值外,樓上算幾不等式也有錯誤,符號上是小錯誤,但觀念可能很要緊
       小小符號,差之毫釐,失之千里!
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回復 25# EZWrookie 的帖子

不會~

把細節詳盡的寫下來,一步步分析或做比較,一直都是在觀念混淆、衝突,似懂非懂之間自己常用的方法

另一篇:https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1615 也是不等式極值的錯誤,

建議您可以順帶看一看,想一想,該文 1 樓的問題出在哪裡?當然其實在 2 樓的地方就有 weiye 老師的分析了
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回復 29# CyberCat 的帖子

97大里高中那題,再去掉一個原點,就對了
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