啊~~沒注意 #18 樓，就有構造反例了

填充題7，改成「達到最小值 \(\displaystyle \frac 94 \)」 也是沒有用

知道極值是無法回推限制條件的，不同的限制條件可能在同一組 a,b 時達到最小值

也可能是在另一組 a, b 達到相同的最小值

例 (1) \( a>0 \) 且 \( b>0 \) 且 \( ab=1 \) (2) \( a>0 \) 且 \( b>0 \)  且 \(\displaystyle ab^{2}=\frac{32}{27} \)

\( a+b \) 在 (1) 的條件下，在 \( a = b = 1 \) 時達最小值 2
\( a+b \) 在 (2) 的條件下，在 \(\displaystyle a = \frac23,  b = \frac43 \) 時達最小值 2

本題，也可以先取一組 \(\displaystyle (a,b) = (\frac{10}9, \frac53) \)

利用廣義柯西不等式等號成立條件構造限制條件 \(\displaystyle 27a + 32b = \frac{250}3 \)

則由廣義柯西不等式有 \( \left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\right)\left(27a+32b\right)\left(27a+32b\right)\geq(9+16)^{3} \)

且在 \(\displaystyle (a,b) = (\frac{10}9, \frac53) \)，\(\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}} \) 達最小值 \(\displaystyle \frac{9}{4} \)

第5題. 注意 \( (z+\sqrt{2}i)^{4}=z^{4}+4i\sqrt{2}z^{3}-12z^{2}-8i\sqrt{2}z+4 \)

剩下的就配方移項，再用極式、棣美弗定理去解

第11題. 轉換成重複組合

令 \( u=b-a\geq0 \),
\( v=c-b\geq1 \)
\( w=d-c\geq0 \)
\( x=e-d\geq1 \)
\( y=f-e\geq0 \)
\( z=9-f\geq0 \)
則 \( a+u+b+w+x+y+z=9 \)

故所求 \( =H_{9-2}^{7}=C_{7}^{13}=1716 \)