第12題：若 \(\alpha, \beta, \gamma\) 是一元三次方程式 \(2x^3-3x^2-12x+16=0\) 的三個根，則 \(\left(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)\left(\beta^2+\beta\gamma+\beta^2\right)\left(\gamma^2+\gamma+\alpha^2\right)\) 的值為何？
解：
\(\displaystyle\left(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)\left(\beta^2+\beta\gamma+\beta^2\right)\left(\gamma^2+\gamma+\alpha^2\right)=\frac{\left(\alpha^3-\beta^3\right)\left(\beta^3-\gamma^3\right)\left(\gamma^3-\alpha^3\right)}{\left(\alpha-\beta\right)\left(\beta-\gamma\right)\left(\gamma-\alpha\right)}\)
因為 \(\alpha, \beta, \gamma\) 是一元三次方程式 \(2x^3-3x^2-12x+16=0\) 的三個根，
所以 \(2\alpha^3-3\alpha^2-12\alpha+16=0\) 且 \(2\beta^3-3\beta^2-12\beta+16=0\)
\(\Rightarrow 2\alpha^3=3\alpha^2+12\alpha-16\) 且 \(2\beta^3=3\beta^2+12\beta-16\)
兩者相減，可得 \(2\left(\alpha^3-\beta^3\right)=3\left(\alpha-\beta\right)\left(\alpha+\beta+4\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha-\beta}=\frac{3}{2}\left(\alpha+\beta+4\right)\)
由根與係數關係式，可得 \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\frac{3}{2}\Rightarrow \alpha+\beta+4=\frac{11}{2}-\gamma\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha-\beta}=\frac{3}{2}\left(\alpha+\beta+4\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}-\gamma\right)\)
同理可得，\(\displaystyle\frac{\beta^3-\gamma^3}{\beta-\gamma}=\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}-\alpha\right)\) 且 \(\displaystyle\frac{\gamma^3-\alpha^3}{\gamma-\alpha}=\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}-\beta\right)\)
故，所求＝\(\displaystyle\frac{27}{8}\left(\frac{11}{2}-\gamma\right)\left(\frac{11}{2}-\alpha\right)\left(\frac{11}{2}-\beta\right)=\frac{27}{8}\left(\left(\frac{11}{2}\right)^3-\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}\right)^2-6\left(\frac{11}{2}\right)+8\right)=324.\)
註： 令 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+16\)，解 \(f\,'(x)=0\) 得 \(x=2\) 或 \(x=-1\)。由 \(f(2)f(-1)<0\)，可知 \(f(x)=0\) 有三相異根，即 \(\left(\alpha-\beta\right)\left(\beta-\gamma\right)\left(\gamma-\alpha\right)\neq0\)。
