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15 題
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\),若\(f(x)\)之極大值為\(A\),\(f(x)\)之極小值為\(B\),且\(f(x)\)的一階導函數\(f'(x)\)之最小值為\(C\),則\(A-B+C\)之最小值為 。
[解答]
透過平移(左右移,不改變 A, B, C),不失一般性可假設 \( f(x) = x^3 + dx + e \)
則 \( f'(x) = 3x^2 +d \),因函數 \( f \) 有極大、極小值,故 \( d<0 \),不妨令 \( d = -3t^2 \),其中 \( t>0 \)
則 \( A = f(-t), B = f(t), C = -3t^2 \), \( A-B+C = 4t^3 - 3t^2 \)
透過微分計算,可知 \( A - B +C \) 在 \( t = \frac12 \) 時有最小值 \( -\frac14 \)。
16 題
正數\(x,y\)滿足\(ax+by \le 1\),其中\((log a)^2+2log b=1\),若\(xy\)之最大值為\(M\),則\(M\)之最小值為 。
[解答]
首先先搞清題意,\( xy \) 的最大值為 \( M \),這句的意思是說
「固定一組 \( (a,b) \),在 \( x,y \) 為正數且滿足 \( ax+by\leq 1 \) 的情況下,所得到的 \( xy \) 最大值,即為 \( M = M(a,b) \)」
由算幾不等式有 \( \frac 12 \geq \frac{ax+by}{2} \geq \sqrt{axby} \Rightarrow xy \leq \frac1{4ab} \)
其等號在 \( x= \frac1{2a}, y =\frac1{2b} \) 時成立,故 \( M(a,b) = \frac1{4ab} \)
而 \( a,b \) 的限制條件為 \( (\log a)^2 + 2 \log b =1 \)
故取 \( \log M(a,b) = -\log 4 -\log a - \log b \) ( a,b 為限制條件中的真數必為正,故 M 亦正)
令 \( A = \log a \),以 \( \log b = \frac{1-A^2}{2} \) 代入 \( \log M(a,b) \) 得 \( \log M(a,b) = - \log 4 - A - \frac{1-A^2}{2} \)
配方可得 \( A = 1 \) 時 \( \log M(a,b) \),此時 \( M(a,b) \) 亦達有最小值 \( \frac1{40} \)