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多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中，\(x^{24}\)項的係數為 。
[解答]
有點醜的做法，參考看看。
令\(\displaystyle a=1+x+x^2+\ldots+x^{12}=\frac{1-x^{13}}{1-x}\)，則原式\(=(a+ax^{13})a^2=a^3+a^3x^{13}\)，
即求\(a^3\)中\(x^{24}\)的係數與\(a^3\)中\(x^{11}\)的係數和
\(\displaystyle a^3=\Bigg(\; \frac{1-x^{13}}{1-x} \Bigg)\;^3=(1-x^{13})^3(1-x)^{-3} \)
\(\displaystyle =(1-3x^{13}+3x^{26}-x^{39})\Bigg[\; 1+(-3)(-x)+\frac{(-3)(-4)}{2!}(-x)^2+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-x)^{11}+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-x)^{24}+\ldots \Bigg]\;\)
所求即為
\( \displaystyle \frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-1)^{24}+(-3)\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}=325+(-234)+78=169 \)
