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從對稱性的觀點來看，球心只能在正八面體的中心點，切點只能在八個正三角形面的中心(重心)
或者先接受球心只能在正八面體的中心點，令其為 O。 \( \triangle ABC \) 為正八面體的一面，M 為 \( \overline{BC} \) 中點，P 為球和 \( \triangle ABC \) 的切點。
則有 \( \overline{OP}\perp ABC \) 和 \( \overline{OM} \perp \overline{BC} \)，由三垂線定理有 \( \overline{PM}\perp\overline{BC} \)，故 \( \overleftrightarrow{PM} \) 為 \( \overline{BC} \) 中垂線(亦為中線)，同理可得 \( P \) 在三中線上。
半徑的計算則可由直角 \( \triangle AOM \) 的面積 \( \frac12 \overline{AO}\times\overline{OM} = \frac12 \overline{AM} \times \overline{OP} \)，其中 \( \overline{OP} \) 為內切球半徑。
各長度以正八面體之邊長表示則得 \( \frac12 \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{2} = \frac12 \frac{\sqrt{3}a}{2} \cdot r \) \( \Rightarrow r = \frac{a}{\sqrt{6}} \)
