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2015AMC10A,AMC12A,AMC12B,AIME(持續徵求AMC10B題目照片檔)

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感謝鋼琴老師,真的太強了!尤其是第14題。只能拍案叫絕

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對每一個整數\(n \ge 2\),令\(A(n)\)表示坐標平面上滿足\(1 \le x<n\),\( 0\le y\le x[\; \sqrt{x} ]\; \)的區域面積,其中\( [\; \sqrt{x} ]\; \)是小於或等於\( \sqrt{x} \)的最大整數。試求在\( 2 \le n \le 1000 \)中使得\(A(n)\)為整數的\(n\)之個數。

第13題是否可以這樣做呢? 敬請各位指導。

先把區間 [1,1000] 用各完全平方數分割: [1,2²], (2²,3²], ..., (31²,1000],各區間包含的區域分別是  y 上界為斜率 = 1, 2, ..., 31 之線段的梯形。
明顯地,每個區域的"寬"都是奇數。

考慮 n 由 2 依序增大的面積變化: 在上述斜率為奇數的區間內,n 每增加 1,面積增加 (整數 + 1/2);而在上述斜率為偶數的區間內,n 每增加 1,面積增加整數。

也就是說,在"奇數區間"內, n 每增加 2,就遇到一個"整數面積";而在"偶數區間"內, 是否得"整數面積",取決於"本區間開始時是否已累積整數面積"(若是,則整個區間的 n 皆是;若否,則整個區間的 n 皆否): 故該"偶數區間"得"整數面積"的充要條件為"該偶數前有偶數個奇數"(因為每個區域的"寬"都是奇數),也就是型如 4k 的偶數方可。

綜上, 區間 ((4k)²,(4k+1)²] (1 ≤ k ≤7) 中的 n 皆合所求;而諸"奇數區間" 的 n 可合併計算 (穿插的"偶數區間"不影響其整數性): 由 1 (不含) 起算,每 2 個 "奇數區間" 的 n 恰有 1 個合所求。

因此, 所求

=∑(1 ≤ k ≤7) [(4k+1)² - (4k)² ] + (1/2)*(1000 - 31² + ∑(1 ≤ k ≤15) [(2k)² - (2k-1)² ])

= 483

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回復 22# cefepime 的帖子

cefepime 兄每次出手都是妙解,小弟佩服之至

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2015AIME第14題
如圖,一塊木製半徑為6、高度為8的圓柱體,表面被漆成藍色。點\(A\)、\(B\)為圓柱的底面圓周上的兩點使得\(AB\)為\(120^{\circ}\)。將此圓柱體切成兩塊,其截面通過圓柱的中心及\(A\)、\(B\)兩點,且此截面是一個沒有顏色的平面。設這個截面的面積為\(a \cdot \pi+b \sqrt{c}\),其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均為整數,且\(c\)不能被任何質數的平方所整除。試求\(a+b+c\)之值。

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2016-3-6 04:54

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