回復 1# tsyr 的帖子
\( x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y
\Rightarrow(2x+1)^{2}=4y^{4}+4y^{3}+4y^{2}+4y+1 \)
令 \( f(y)=4y^{4}+4y^{3}+4y^{2}+4y+1 \)，則 \( f(y)<(2y^{2}+y+2)^{2} \), for all \( y\in\mathbb{R} \)
\( f(y)-(2y^{2}+y)=3y^{2}+4y+1=(3y+1)(y+1) \), \( \Rightarrow f(y)\geq(2y^{2}+y)^{2} \), for \( y\in\mathbb{Z} \). 且其等號僅在 \( y=-1 \) 時成立。
若 \( y\neq-1 \)，則 \( (2y^{2}+y)^{2}<(2x+1)^{2}=4y^{4}+4y^{3}+4y^{2}+4y+1<(2y^{2}+y+2)^{2} \)
又 \( 2y^{2}+y, 2x+1, 2y^{2}+y+2 \) 皆整數，故 \( 2x+1=\pm(2y^{2}+y+1) \).
... 剩下的自己做吧
[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-1-28 07:03 PM 編輯 ]
