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\(\begin{align}
  & {{\alpha }^{2}}-3\alpha +1=0 \\
& {{\alpha }^{2}}+1=3\alpha  \\
& \alpha +\frac{1}{\alpha }=3 \\
&  \\
& \beta -\frac{1}{\beta }=2 \\
&  \\
& {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}=7 \\
& {{\alpha }^{3}}+\frac{1}{{{\alpha }^{3}}}=18 \\
& {{\alpha }^{4}}+\frac{1}{{{\alpha }^{4}}}=47 \\
& {{\beta }^{2}}+\frac{1}{{{\beta }^{2}}}=6 \\
& {{\beta }^{3}}-\frac{1}{{{\beta }^{3}}}=14 \\
& {{\beta }^{4}}+\frac{1}{{{\beta }^{4}}}=34 \\
\end{align}\)

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