最近在研究排列組合~~
1. 伯納多選取一個三位數的正整數N，並在黑板上將N分別改寫成以5為底以及以6為底的表示法。稍後，拉洛伊看到黑板上伯納多所寫的這兩個數，就將它們當做以10為底的整數相加，而得正整數S。例如，如果N=749，那麼伯納多會在黑板改寫成10,444與3,245，而拉洛伊就得到和S=13,689。試問有多少正整數N，會使得S最右邊的兩邊數碼依序與2N的最右邊的兩個數碼相同？(註)：以6為底時3245表

2. 已知是介於與之間。試問有_________組整數數對(m,n) 滿足：
且 。


Thank you very much.
第二題答案為279

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-12-29 08:04 PM 編輯 ]

我第一題的想法如下，請各位高手提供更快的解答!
先考慮  N的個位數字(x)  以5為底的個位數字(y) 以6為底的個位數字(z)
(1)x=0~4，y=x，z=2x-y=y
(2)x=5~9，y=x-5，z=2x-y-10=y
綜合(1)和(2)，可得y=z，即N除以5和6的餘數相同(為a)。
因此，我們可以列出N=30k+a，其中a=0,1,2,3,4
又對於所有k屬於正整數，若a=0時符合題述條件，則a=1,2,3,4均符合
因此我們剩下要考慮的數字如下，順便連以5為底最後兩位數(m)和以6為底最後兩位數(n)之值也列上
(N,m,n)=
(120,40,20),
(150,00,10),
(180,10,00),
(210,20,50),
(240,30,40),
(270,40,30),
(300,00,20),
(330,10,10),
......後面循環
發現只有360,390,720,900,930符合
再加上a可以等於0,1,2,3,4
故N有5*5=25種可能。

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-12-29 07:19 PM 編輯 ]

上面有神快拜!
小弟受教了

非常感謝
cefepime
的精采解答!

大家新年快樂
今年還請各位高手多多指教

[ 本帖最後由 tsyr 於 2015-1-1 09:38 PM 編輯 ]