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2000ARML

第 1 題
13

第 2 題
200

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\(\begin{align}
  & {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 2 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{70}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 3 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 3 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}={{4}^{35}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{35}}\equiv -1\ \left( \bmod \ 5 \right) \\
& {{3}^{70}}={{9}^{35}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{35}}\equiv -1\ \left( \bmod \ 5 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv -2\equiv 3\ \left( \bmod \ 5 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}={{8}^{23}}\times 2\equiv {{1}^{23}}\times 2\equiv 2\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{3}^{70}}={{27}^{23}}\times 3\equiv {{\left( -1 \right)}^{23}}\times 3\equiv -3\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv -1\equiv 6\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}={{32}^{14}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{14}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 11 \right) \\
& {{3}^{70}}={{243}^{14}}\equiv {{1}^{14}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 11 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv 2\ \left( \bmod \ 11 \right) \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-12-1 02:45 PM 編輯 ]

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回復 6# studentJ 的帖子

\(200={{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\)
因\({{a}_{1}}|{{a}_{2}},{{a}_{2}}|{{a}_{3}},{{a}_{3}}|200\)
令\({{a}_{1}}={{2}^{x}}\times {{5}^{p}},{{a}_{2}}={{2}^{y}}\times {{5}^{q}},{{a}_{3}}={{2}^{z}}\times {{5}^{r}}\)
其中\(\begin{align}
  & 0\le x\le y\le z\le 3 \\
& 0\le p\le q\le r\le 2 \\
\end{align}\)
所求\(=H\left( 4,3 \right)\times H\left( 3,3 \right)=200\)

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