第11題
(A)分別求出xy和zu的最值，再相加
(B)柯西不等式

第12題
令\(\frac{a{{x}^{2}}+2x+b}{2{{x}^{2}}+2x+1}=k\)
用判別式配合\(\left( k+6 \right)\left( k-1 \right)\le 0\)比較係數

第13題
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f\left( 3 \right)=3\left[ f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right) \right]+f\left( 0 \right) \\
\end{align}\)

第14題
(A)
令\(x=a+b,y=a-b\)
則\(3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3\)
而\(x+y=2a\)
(B)
\(\begin{align}
  & {{\left( x+y \right)}^{2}}-3=xy \\
& \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=xy+x+y+1={{\left( x+y \right)}^{2}}+\left( x+y \right)-2 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-11-11 11:10 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 chiang 於 2014-11-12 09:52 AM 發表
第14題 第二小題
我還是不會算最小值?

\({{\left( x+y \right)}^{2}}+\left( x+y \right)-2={{\left( x+y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{1}{4}-2={{\left( x+y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{9}{4}\)

第 1 題
先考慮第一象限的圖形
|x - 1| + |y - 1| ≦ 2
x > 0
y > 0
即 |x| + |y| = 2 的圖形把中心點平移到 (1，1) ，面積為 6
由於對稱，所求 = 6 * 4 = 24

第 2 題
條件太多，就直接列一列
(蘋，木) = (9，5)，(8，5)，(8，6)，(7，4)，(7，5)，(7，6)，(6，4)，(6，5)

第 3 題
|x - a| < |ax - 1|
兩邊均為正，平方
(x - a)^2 < (ax - 1)^2
(a^2 - 1)x^2 > a^2 - 1
x^2 < 1
-1 < x < 1

第 4 題
xy + yz + zx = xy + z(x + y) = xy + (3 - x - y)(x + y) = -9
y^2 + (x - 3)y + (x^2 - 3x - 9) = 0
再用判別式

您的方法中把求值式平方，有可能會增根
小弟的做法如下
\(\begin{align}
  & \sin x+\cos x=\frac{1}{2} \\
& \sin x\cos x=-\frac{3}{8} \\
& \sin 3x-\cos 3x \\
& =3\sin x-4{{\sin }^{3}}x-4{{\cos }^{3}}x+3\cos x \\
& =3\left( \sin x+\cos x \right)-4\left( \sin x+\cos x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x \right) \\
& =3\left( \sin x+\cos x \right)-4\left( \sin x+\cos x \right)\left( 1-\sin x\cos x \right) \\
& =\left( \sin x+\cos x \right)\left( -1+4\sin x\cos x \right) \\
& =\frac{1}{2}\left( -1-\frac{3}{2} \right) \\
& =-\frac{5}{4} \\
\end{align}\)

\(y={{x}^{2}}-2\sin \theta x+1\)之頂點為\(\left( \sin \theta ,1-{{\sin }^{2}}\theta  \right)\)，在\(y=\sqrt{2}x-\frac{1}{2}\)下方
即滿足\(y<\sqrt{2}x-\frac{1}{2}\)
\(\begin{align}
  & 1-{{\sin }^{2}}\theta <\sqrt{2}\sin \theta -\frac{1}{2} \\
& \sin \theta >\frac{\sqrt{2}}{2} \\
& \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{3}{4}\pi  \\
\end{align}\)

答案應是 180 種

第 5 題
三人一起猜拳一次，三人平手的機率是 1/3，兩人勝一人負的機率也是 1/3，一人獨勝的機率也是 1/3
二人猜拳一次，二人平手的機率是 1/3，一人勝一人負的機率是 2/3

猜三回後，都沒有一人獨勝的情形有以下 4 種，機率都是 1/27，所以答案是 4/27
(三人平手，三人平手，三人平手)
(三人平手，三人平手，兩人勝一人負)
(三人平手，兩人勝一人負，二人平手)
(兩人勝一人負，二人平手，二人平手)


第 6 題
請見下圖
(1) 走到 P，再往右走就到 B，所以是求 A 走 P 的機率
A 走 P 的走法有 6 種
ACDGP：機率 (1/2)^4 = 1/16
ACFGP：機率 (1/2)^4 = 1/16
ACFIP：機率 (1/2)^3 = 1/8
AEFGP：機率 (1/2)^4 = 1/16
AEFIP：機率 (1/2)^3 = 1/8
AEHIP：機率 (1/2)^2 = 1/4
加起來就是 11/16

(2) 先算兩人在途中相遇的機率
會相遇，表示兩人都走三條格線，三個相遇點分別為 I、G、J

在 I 點相遇的機率 = 甲由 A 走到 I 的機率 * 乙由 B 走到 I 的機率 = (1/2) * (1/8) = 1/16
在 G 點相遇的機率 = 甲由 A 走到 G 的機率 * 乙由 B 走到 G 的機率 = (3/8) * (3/8) = 9/64
在 J 點相遇的機率 = 甲由 A 走到 J 的機率 * 乙由 B 走到 J 的機率 = (1/8) * (1/2) = 1/16

所求 = 1 - 1/16 - 9/64 - 1/16 = 47/64


第 7 題
A、B、C 先單獨成一隊，假設分別是 X 隊、Y 隊、Z 隊，另外一隊是 W 隊
把 D、E、F 三人分到上面這四隊中，有 4^3 種方法
其中有 3^3 種分法會導致 W 隊無人
所求 = 4^3 - 3^3 = 37

第9題
畫出\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)之圖形
它與兩軸所圍成之面積\(=\int_{0}^{1}{{{\left( 1-\sqrt{x} \right)}^{2}}dx=\frac{1}{6}}\)
\(R=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)繞x軸旋轉一圈所成之體積\(=\pi \int_{0}^{1}{{{\left( 1-\sqrt{x} \right)}^{4}}dx=\frac{1}{15}\pi }\)
x+y=1繞x軸旋轉一圈所成之體積\(=\pi \int_{0}^{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}dx=\frac{1}{3}\pi }\)
所求\(=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{15}=\frac{4}{15}\pi \)

第10題
設過P之切線為\(y=m\left( x-1 \right)\)
\(\begin{align}
  & a{{x}^{2}}+1=m\left( x-1 \right) \\
& a{{x}^{2}}-mx+m+1=0 \\
& {{\left( -m \right)}^{2}}-4a\left( m+1 \right)=0 \\
& {{m}^{2}}-4am-4a=0 \\
\end{align}\)
由於兩切線互相垂直，由根與係數可知
\(\begin{align}
  & -4a=-1 \\
& a=\frac{1}{4} \\
\end{align}\)

第12題
小弟是硬做……，應該有好方法，不過還沒想到
等這個領域的高手 ellipse 兄來解答
切線斜率為 1 時，三角形面積有最小值

第13題
令
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+{{a}^{2}}x+b \\
& f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4ax+{{a}^{2}}=\left( x+a \right)\left( 3x+a \right)=0 \\
& f\left( -a \right)\times f\left( -\frac{a}{3} \right)<0 \\
& b\left( -\frac{4}{27}{{a}^{3}}+b \right)<0 \\
& ...... \\
\end{align}\)

第14題
大正六邊形ABCDEF，小正六邊形A’B’C’D’E’F’
令容器之高為h，A’B’ = x
\(\begin{align}
  & AC=2h+A'C' \\
& 30\sqrt{3}=2h+\sqrt{3}x \\
& h=15\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x \\
\end{align}\)
容積\(=\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{2}}\times 6\times \left( 15\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x \right)=-\frac{9}{4}{{x}^{3}}+\frac{135}{2}{{x}^{2}}\)
微分找極值……

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-12-3 08:32 PM 編輯 ]

\(\begin{align}
  & \frac{8b-{{a}^{2}}}{8}<3 \\
& 8b<{{a}^{2}}+24 \\
& b=1,a=1\tilde{\ }6 \\
& b=2,a=1\tilde{\ }6 \\
& b=3,a=1\tilde{\ }6 \\
& b=4,a=3\tilde{\ }6 \\
& b=5,a=5\tilde{\ }6 \\
& b=6,a=5\tilde{\ }6 \\
\end{align}\)
所求\(=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}\)