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高中學力競賽題目

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\( \displaystyle \sum_{k=0}^{33} \left( C^{101}_{3k}-C^{100}_{3k}+C^{99}_{3k} \right ) \)

法1. 二項式定理,考慮 \( (1+x)^n, n=99,100,101, x=1,\omega, \omega^2 \) 相加除以3,其中 \( \omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)。

法2. For \( k \geq 1, C^{101}_{3k}-C^{100}_{3k}+C^{99}_{3k} = C^{100}_{3k-1} + C^{99}_{3k} = C^{99}_{3k-2} + C^{99}_{3k-1} + C^{99}_{3k} \)

設數列 \( \displaystyle \left< a_n \right>:  1,\frac12,\frac34,\frac58,\ldots\ldots \),亦即 \( a_1 =1, a_2 = \frac12 \), 之後,每一項都是前兩項的算術平均數。若極限 \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \) 存在,則 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = ? \)

樓主可以的話,順帶註記一下年份地區,謝謝

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-9 05:12 PM 編輯 ]
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