m 應是正整數

n 先用 1、2 代入觀察，再用數學歸納法證明，其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種

\(\begin{align}
  & {{2}^{3n+3}}-7n+41 \\
& ={{8}^{n+1}}-8-7n+49 \\
& =8\left( {{8}^{n}}-1 \right)-7n+49 \\
& =7\left( {{8}^{n}}-1 \right)+{{8}^{n}}-1-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n \right)+49 \\
&  \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1\equiv 1+1+\cdots \cdots +1+1\equiv n\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n\equiv 0\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{3n+3}}-7n+41\equiv 0\quad \left( \bmod \ 49 \right) \\
\end{align}\)

好像沒有比較好寫......

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 ]

這式子真漂亮...

我有說不能用數學歸納法嗎？

我在二樓就有說可用數學歸納法，而樓主在三樓表明他要的不是數學歸納法，所以我在四樓用了其它的方法，你要提供證法給別人，幹嘛回覆我四樓的帖子？

針對題目本身的話，就去樓主的帖子按回覆，你在我的帖子按回覆就是針對這個帖子
論壇的規則你會不知道？