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一題求解 [求證 2^(3n+3)-7n+41 恆為 49 的倍數]

回復 4# thepiano 的帖子

也是可以用數學歸納法唷!

n為非負整數,證明2^(3n+3)-7n+41恆為49的倍數
2^(3n+3)-7n+41=8^(n+1)-7n+41
當n=0時,8^(0+1)-7*0+41=49為49的倍數,成立。
設當n=k時成立,即8^(k+1)-7k+41≡0 (mod 49) → 8^(k+1)≡7k-41≡7k+8 (mod 49).....甲
當n=k+1時,
8^(k+2)-7(k+1)+41
≡8*8^(k+1)-7k-7+41
≡8*8^(k+1)-7k+34
≡8*(7k+8)-7k+34.....將甲式代入
≡49k+98
≡0 (mod 49)
故n=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理,原式恆成立。

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回復 9# thepiano 的帖子

鋼琴大:
您想太多了。在下有說您有說不能用數學歸納法嗎?
在下說「也是可以用數學歸納法唷!」只是因為您用的不是數學歸納法,而在下想提供給大家另一個證法而已。謝謝!

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thepiano君:
抱歉!在下實在無法從「可否透過移項的一些代數方法直接討論而得」推論出「我不要用數學歸納法」,因為數學歸納法也可能用到移項,且它也不是間接的。
至於「回復 4# thepiano 的帖子」,這只是系統自動帶出的一句話,在下是在您的回應中按下「回復」沒錯,但我針對的是題目本身,不是您的證法,我自己打出來(而不是系統自動帶出)的文字裡根本就沒有提到您或您的證明。如果我在您的回應中按下「回復」,但刪除「回復 4# thepiano 的帖子」這句話,您是否就不會反彈呢?但是這差別在哪裡?

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