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拉馬努金的無窮根號問題

本主題由 bugmens 於 2017-7-22 17:01 合併
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這是拉馬努金的貢獻,改天我再來整理關於他的資料

105.5.28補充
拉馬努金的手稿,http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NotebookFirst.htm

可以看到拉馬努金所寫下的
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)

數學傳播的文章
探求 「無限」 奧秘的數學家 一一 Srinivasa Ramanujan (上)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d273/27307.pdf
探求 「無限」 奧秘的數學家 一一 Srinivasa Ramanujan (下)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27405.pdf

底下的無窮根號.pdf提供了解法
(1)
令\(f(n)=n(n+2)\)
\(f(n)=n \sqrt{(n+2)^2}\)
  \(=n\sqrt{n^2+4n+4}\)
  \(=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}\)
  \(=n\sqrt{1+f(n+1)}\)
反覆代入得到
\(n(n+2)=n \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+(n+4)\sqrt{1+\ldots}}}}}\)
\(n=1\)代入得到
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)


(2)
令\( f(n)=n(n+3) \)
\( f(n)=n \sqrt{(n+3)^2} \)
  \( =n \sqrt{n^2+6n+9} \)
  \( =n \sqrt{(n+5)+(n+1)(n+4)} \)
  \( =n \sqrt{(n+5)+f(n+1)} \)
反覆代入得到
\( f(n)=n \sqrt{(n+5)+(n+1)\sqrt{(n+6)+(n+2)\sqrt{(n+7)+(n+3)\sqrt{(n+8)+\ldots}}}} \)
\( n=1 \)代入得到
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)

附件

無窮根號.pdf (84.71 KB)

2014-7-31 22:07, 下載次數: 978

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4月26日是印度天才數學家拉馬努金的逝世周年日,游森棚教授寫了一篇關於拉馬努金的文章

彗星般的天才數學家—拉馬努金
http://www.cw.com.tw/article/article.action?id=5075951

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印度來的奇蹟
http://scimonth.blogspot.tw/2010/09/blog-post_23.html
作者/游森棚

  這個月數學界的焦點會在印度,因為四年一度的國際數學家大會(International Congress of Mathematicians, ICM)今年(2010 年)8 月將在印度舉行。

  內行人看門道,外行人看熱鬧。數學的深刻和嚴肅面離一般人太遠,所以大多數人最期待的是四年一次在國際數學家大會頒發,號稱數學界諾貝爾獎的費爾茲獎會落在誰身上。網路上有很多的猜測,我當然也有猜測,但這期雜誌印出來時,應該已經公布名單了,所以猜測就留在心裡了。但談到印度,又談到數學,數學家拉瑪努金(Srinivasa Aiyangar Ramanujan)的故事立刻浮上心頭。這個已故數學家的軼事多采多姿,天分極為不凡,生命軌跡獨一無二,因此這個月的專欄,藉由ICM 在印度舉辦的聯想,我們就來一窺拉瑪努金奇蹟式的數學人生。

  拉瑪努金只上過非常短時間的大學(大一因為英文不好,沒拿到獎學金而輟學),可以說沒有受過專業數學訓練。他所有的數學知識,來自於他15歲在圖書館借到的一本數學公式集《純數學摘要》(Synopsis of Pure Mathematics)。這本書上條列了數千個公式與定理,想也知道一本書有數千個公式,一定是不講原因,沒有證明的。但拉瑪努金用自己的方法理解了這本書,而也因為啟蒙書是這樣的風格,拉瑪努金接下來憑著極高的天分,單獨發現了許多定理,寫下來後也都是這樣的風格:一條又一條令人炫目的結果,而且只有結果,沒有理由。

  所以,也無怪乎英國數學家哈第(G. H.Hardy)在1913年接到拉瑪努金一封九頁長的信後,目瞪口呆的反應。在那封信上,拉瑪努金寫滿了他發現的「定理」——都只有結果,沒有理由,沒有證明。其中一個是這樣(為了容易說明,此處挑選不需要特別解釋符號的一個):\( \displaystyle 1-5\left( \frac{1}{2} \right)^3+9 \left( \frac{1 \times 3}{2 \times 4} \right)^3-13 \left( \frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6} \right)^3+\ldots=\frac{2}{\pi} \)
這種無厘頭的式子寫滿了一頁又一頁,那時候沒有電腦可以模擬,沒有網路可以查,只能手算看對不對。但是這些式子一個比一個複雜,又沒有理由跟證明,莫怪乎哈第起先以為是惡作劇!(也莫怪乎之前拉瑪努金寫給其他兩位數學家,都被退信)。總算是老天有眼,哈第讀了信,不讀則已,讀後大驚失色,信裡面有一些連他都無法想像的正確等式。慧眼識英雄,於是他想辦法在1914年把拉瑪努金接到英國,兩個人密切合作得到了豐富的數學成果。但是很不幸,也許因為英國潮溼陰冷的冬天讓拉瑪努金水土不服,他1916年生病後一直沒好,1919年為了養病回到印度,隔年就過世了。

  拉瑪努金對數字的敏感使得他在數論上有許多重要的貢獻。哈第和拉瑪努金合作的重要成果之一是給出了分割數(partition number)\(p(n)\)的漸近公式。\(p(n)\)是把\(n\)寫成正整數和的方法(順序不計),例如\(p(4)=5\),因\(4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1\);又例\(p(10)=42\)等。看來不怎樣,但讀者如果還記得本刊2009年10月號組合數學的封面故事,應該有印象\(p(n)\)是多麼不可預測,且\(p(n)\)的公式有多困難。很難想像\(p(100)\)可以等於190569292,而\(p(1000)\)可以多到誇張——\(p(1000)=24061467864032622473692149727991\)。

  在1918年哈第和拉瑪努金得到︰\( \displaystyle p(n)\sim \frac{e^{\pi}\sqrt{\frac{2n}{3}}}{4n \sqrt{3}} \)
另外一個和\(p(n)\)有關的是,拉瑪努金發現\(p(n)\)有一些倍數關係。讀者可以觀察下表,看看能不能猜到:

\(n\)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

\(p(n)\)

1

1

2

3

5

7

11

15

22

30

42

56

77

101



  拉瑪努金說,不管\(k\)是多少, \(p(5k+4)\)一定是5 的倍數,\(p(7k+5)\)一定是7 的倍數,\(p(11k+6)\)一定是11的倍數。附帶一提,讀者也許說,這看起來也沒什麼,看來有規則不是嗎?也許\(p(13k+1)\)或\(p(13k+2)\)、\(p(13k+3)\)、……、\(p(13k+12)\)、\(p(13k)\),反正總有一個一定是13的倍數,不是嗎?錯!上面任何一個都不會一直是13的倍數。那到底有沒有\(a\)、\(b\)讓\(p(ak+b)\)永遠是13的倍數?答案是有的。在1960年才由數學家阿特金(A. O. L. Atkin)找到:不管\(k\)是多少,\(p(17303k+237)\)是13 的倍數!

  還有一個重要的結果,現在稱為羅傑-拉瑪努金等式(Rogers-Ramanujan identities)。它在數學的分支「表現理論」,甚至「理論物理」中都是重要的。原始的羅傑-拉瑪努金等式有兩個,其中一個是:\( \displaystyle 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{q^k}^2}{(1-q)(1-q^2)\ldots(1-q^k)}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})} \)

  數學家舒爾(Issai Schur)給了分割數的解釋;「把\(n\)分割,但是任兩部分的差都至少要是2的方法數」,會等於「把\(n\)分割,但是每一個部分都長得像是\(5k+1\)和\(5k+4\)的方法數」。比如6的分割,前者有\(6=5+1=4+2\)這三種方法,後者有\( 6=4+1+1=1+1+1+1+1+1 \)這三種方法。這樣一個簡單的解釋為什麼會是對的,卻難倒了眾多數學家,直到1980年才有第一個複雜的解釋,2006年才有一個還算滿意的解釋,但到現在都還是數學家關注的焦點之一。

  數以千計的數學家有系統地介紹和證明拉瑪努金的定理,出版成套書Ramanujan's Notebooks,一共好幾巨冊,中研院數學所就有一整套。神奇天才的故事永遠受人歡迎,拉瑪努金的故事在2007年還被演成舞台劇《消失的數字》(A Disappearing Number),得了不少獎。但是故事永遠不嫌多,1976年數學家安德魯斯(G. Andrews,美國科學院院士,研究分割數的權威)在劍橋三一神學院的圖書館,發現了87張拉瑪努金的手稿,裡面有超過600個新的結果!這件事轟動了數學界,這87張紙被稱為Ramanujan's Lost Notebook。這根本是「四十二章經」,現實生活中的武俠小說情節!1997年,數學界更多了一個學術期刊,名稱就叫做《拉瑪努金》(Ramanujan Journal),這個期刊旨在發表和拉瑪努金的數學結果有關的學術研究。

  到頭來我們總想知道,拉瑪努金怎麼發現這些東西?據哈第的口述,拉瑪努金給了一個無法模仿的答案--拉瑪努金說,故鄉的女神托夢給他,他早上醒來就把結果寫下來。所以我們只能說,這真是印度來的奇蹟。

  但天才到底是怎麼一回事?我個人一直喜歡以下軼事(故事也是來自哈第)的兩個不同解讀觀點。哈第去探病,對病床上的拉瑪努金說,「剛剛坐計程車來,車牌是1729,這真是一個相當無聊的數字。」拉瑪努金馬上說,「你錯了,1729一點也不無聊。1729是能用兩種不同方法寫成兩個正整數立方和的數字中,最小的那一個」。\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)。讀完這個軼事,一個觀點會是,哇!果然是印度來的神蹟,這真是神啟,拉瑪努金果然是天才。但因為我們都是凡人,我更喜歡另一個觀點:拉瑪努金之所以能馬上回答,是因為之前下過許多功夫--不要說1729,也許到2000以前的每個數他都曾經鑽研過,所以才能反應得那麼快。

  就像哈第對拉瑪努金的描述:「他有超人的記憶力與無比的耐心,而且擅於計算和推廣,對公式有特殊感覺,而且迅速修正自己的假設,這些,讓他成為獨一無二的數學家。」

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再補充三題無窮根號的題目
\( 1+2 \sqrt{3}sin20^{\circ}=\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\ldots}}} \)
\( 1+4sin10^{\circ}=\sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-\ldots}}} \)
\( 1+4 \sqrt{3}sin20^{\circ}=\sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23+2\sqrt{23-\ldots}}}} \)


\( 1+2\sqrt{3}sin20^{\circ} \)
\( =\sqrt{1+4\sqrt{3}sin20^{\circ}+12sin^2 20^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-6cos40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-4\sqrt{3}cos30^{\circ}cos40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-2\sqrt{3}cos70^{\circ}-2\sqrt{3}cos10^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+2\sqrt{3}cos70^{\circ}-2\sqrt{3}cos10^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7-4\sqrt{3}sin30^{\circ}sin40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{8-(1+2\sqrt{3}sin40^{\circ})} \)
\( =\sqrt{8-\sqrt{8+(2\sqrt{3}sin80^{\circ}-1)}} \)
\( =\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-(1+2\sqrt{3}sin20^{\circ})}}} \)


利用類似的方法
\( 1+4sin10^{\circ} \)
\( =\sqrt{11-2(1+4sin50^{\circ})} \)
\( =\sqrt{11-2\sqrt{11+2(4sin70^{\circ}-1)}} \)
\( =\sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-2(1+4sin10^{\circ})}}} \)


\( 1+4\sqrt{3}sin20^{\circ} \)
\( =\sqrt{23-2(4\sqrt{3}sin80^{\circ}-1)} \)
\( =\sqrt{23-2\sqrt{23+2(1+4\sqrt{3}sin40^{\circ})}} \)
\( =\sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23+2(1+4\sqrt{3}sin20^{\circ})}}} \)

出處
https://books.google.com.tw/book ... ge&q&f=true

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