發新話題
打印

拉馬努金的無窮根號問題

本主題由 bugmens 於 2017-7-22 17:01 合併
推到噗浪
推到臉書

拉馬努金

上述的方法,對我而言技巧性高,讀過易忘。故嘗試模仿其思維,另尋一個較易體會的解題動機。

由連結文章內容知,題目中令人困惑的 "無窮根號" 形式,其實可由遞迴關係,配合反覆代入而形成。

體認了 "遞迴關係 + 反覆代入" 可產生 "無窮xx" 形式,再觀察題目式形態,數字,及其規律後,可知:

如果找到一個函數 f (n),滿足

f (n) = √ [ (n+5) + (n+1)*f (n+1) ]   (此取法是以題目式的 " √ " 為 "新的起始點",當然亦有別的取法)

則 f (1) 即為所求 (藉由反覆代入)。

以下開始求 f (n):

上式平方得 f ²(n) = (n+5) + (n+1)*f (n+1)......(#)

由形態,合理地先嘗試多項式函數,易知 f (n) 次數為1,且可令為 n+a,代回 (#) 式:

(n+a)² = (n+5) + (n+1)*(n+a+1),得 a = 3

即 f (n) = n+3,n∈N,則所求 = f (1) = 4

當然寫試卷時,逕令 f (n) = n+3 = √ [ (n+5) + (n+1)*f (n+1) ],n∈N,再反覆代入即可。

-----------------------------------

再嘗試上述連結中的 8#,站長 weiye 老師提供的類題:

目標: 找到函數 f (n),滿足:

f (n) = √ [ (n+4)² - 4*f (n+1) ]

平方得 f ²(n) = (n+4)² - 4*f (n+1)

類似上題,令 f (n) = n+b,則 (n+b)² = (n+4)² - 4*(n+b+1),得 b = 2

即 f (n) = n+2,n∈N,則所求 = f (1) = 3




[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-7-1 12:10 編輯 ]

TOP

發新話題