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三人中挑一位第一名,若C不是第一名,則A為第一名的機率

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【引導】
這是很有名的霍爾問題(三門問題)
這個遊戲的玩法是:參賽者會看見三扇關閉了的門,其中一扇的後面有一輛汽車或者是獎品,選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車或獎品,而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊或者是後面沒有任何東西。當參賽者選定了一扇門,但未去開啟它的時候,知道門後情形的節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率?如果嚴格按照上述的條件的話,答案是會—換門的話,贏得汽車的機率是2/3。
以下說明參考解法
【參考解法】
有三種可能的情況,全部都有相等的可能性(1/3):
參賽者挑汽車,主持人挑兩頭羊的任何一頭。轉換將失敗。
參賽者挑A羊,主持人挑B羊。轉換將贏得汽車。
參賽者挑B羊,主持人挑A羊。轉換將贏得汽車。
在後兩種情況,參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第一種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的,所以透過轉換選擇而贏的機率是2/3。
如果沒有最初選擇,或者如果主持人隨便打開一扇門(可能主持人會直接開到汽車門,導致遊戲結束),又或者如果主持人只會在參賽者作出特定選擇某一門時才會問是否轉換選擇的話,問題都將會變得不一樣。例如,如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻,然後才叫參賽者作出選擇的話,選中的機會將會是1/2。
還可以用逆向思維的方式來理解這個選擇。無論參賽者開始的選擇如何,在被主持人問到是否更換時都選擇更換。如果參賽者先選中山羊,換之後百分之百贏;如果參賽者先選中汽車,換之後百分之百輸。而選中山羊的機率是2/3,選中汽車的機率是1/3。所以不管怎樣都換,相對最初的贏得汽車僅為1/3的機率來說,轉換選擇可以增加贏的機會。
三門問題是多門問題里最難的情況。如果把三門變成千門,參賽者第一次就選中的機率就是1/1000,參賽者就會清楚自己是在猜,而不是如同三門的時候1/3的機率認為自己是對的。這樣,當主持人打開剩下999扇門中的998扇時,該如何選擇,認真思考就會比三門的時候清晰很多。
和原問題對照,即可得答案為1/3

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