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103南大附中

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原帖由 tsusy 於 2014-7-20 07:17 PM 發表
第一題. hua0127 老師的 \( a_n \) 是 第 \( n \) 位同學吃完一個後再拿完一堆"所剩的橘子數"

你的 \( a_n \) 也是嗎?
謝謝tsusy老師
我清楚了

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請問第5題矩陣,計算出2I-N後,如何尋得它的規律性?或是有更好的解法嗎?

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回復 32# 小姑姑 的帖子

填充5. 注意 \( IN = NI =N \), \( N^2 = O \) ( 0 矩陣)

以二項式定理展開 \( (2I+N)^{103} \) 得 \( (2I)^{103} + 103(2I)^{102}N \)

------------------------------------------

樓下可以考慮特徵值硬暴(誤) 這樣就不會白佔 1 層樓

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-29 02:27 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 32# 小姑姑 的帖子

N的平方為零矩陣,利用二項式定理應該就可以了

(寸絲兄已說明,占了一層樓XD
話說這題想硬爆還不行~特徵值重根對應的特徵向量不夠XD可能要用jordan-form了(大誤

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 03:28 PM 編輯 ]

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回復 33# tsusy 的帖子

謝謝寸絲大大幫我打開我的打結的腦

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教甄還沒考過特徵值相同的矩陣n次方,希望明年命題老師可以考慮看看。

5.
設\( I=\left[ \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \right] \),\( N=\left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \),求\( (2I-N)^{103}= \)?
[解答]
\( A=2I-N=\left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \)
1.求特徵值
\( \left| \matrix{1-\lambda & -1 \cr 1 & 3-\lambda} \right| =0 \) , \( (\lambda-2)^2=0 \) , \( \lambda=2,2 \)特徵值重根

2.求特徵向量
\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{0 \cr 0} \right] \) , \( x+y=0 \),取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \)

\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \) , \( x+y=1 \),取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{1 \cr 0} \right] \)

3.形成P矩陣
設\( P=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \),\( P^{-1}=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \)

4.計算\( D=P^{-1}AP \),這時候\( D \)不會是對角矩陣
\( D=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right]=\left[ \matrix{2 & 1 \cr 0 & 2} \right] \)
\( D^n=\left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \),(這似乎只能硬乘來觀察規律)

5.求\( A \)的n次方
\( A^n=PD^nP^{-1}=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right]=\left[ \matrix{-(n-2)2^{n-1} & -n 2^{n-1} \cr n 2^{n-1} & (n+2)2^{n-1}} \right] \)
\( A^{103}=2^{102} \left[ \matrix{-101 & -103 \cr 103 & 105} \right] \)

其實我是用maxima算的,更多類題請看https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid2620

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