第一題
看三角形 \(\displaystyle ABB_1 \)
\(\displaystyle AA_1 \)是內角平分線， \(\displaystyle BA_1 \) 是外角平分線，
所以 \(\displaystyle B_1A_1 \) 是外角平分線
於是 \(\displaystyle \angle{A_1B_1C_1}=90^o \)

第五題
抱歉，開不了你的附檔，圖形回去再附
假設角B內部的旁切圓圓心為 \( O_2 \)
假設角C內部的旁切圓圓心為 \( O_1 \)

對三角形ABD以PFH為截線使用孟式定理得到 \(\displaystyle \frac{AP}{PD} \times \frac{DF}{FB} \times \frac{BH}{HA}=1 \)

又 BF=BH ，所以  \(\displaystyle \frac{AP}{PD}=\frac{AH}{DF} \)

對三角形ACD以PGE為截線使用孟式定理得到 \(\displaystyle \frac{AP}{PD} \times \frac{DE}{EC} \times \frac{CG}{GA}=1 \)

又 CE=CG ，所以  \(\displaystyle \frac{AP}{PD}=\frac{AG}{DE} \)

於是  \(\displaystyle \frac{AH}{DF}=\frac{AG}{DE}  =>  \frac{DE}{DF}=\frac{AG}{AH} \)

不難證明三角形 \(\displaystyle AGO_1 \) 與三角形 \(\displaystyle AHO_2 \) 相似，

\(\displaystyle \frac{AG}{AH}=\frac{AO_1}{AO_2} \)

由  \(\displaystyle O_1E \) 與  \(\displaystyle O_2F \) 都垂直BC，故得證

第五題，給有興趣的共同研究
先不要做PA直線
令直線AB和EG交於K，直線AC和FH交於L；
AB跟圓 \( O_1 \) 切於M，AC跟圓 \( O_2 \) 切於N。

(1)首先證明A、M、B、K是調和點列
如果可以看出這是圓錐截痕的橢圓，A、B是長軸兩端點，M、K是對應的焦點與準線，
那麼由定義就有 \(\displaystyle \frac{AM}{AK}=\frac{BM}{BK} \)  即可得知。
或是這樣
AM=AG，BM=BE
\(\displaystyle \frac{AG}{AK}=\frac{\sin{\angle{AKG}}}{\sin{\angle{AGK}}} \)

\(\displaystyle \frac{BE}{BK}=\frac{\sin{\angle{BKE}}}{\sin{\angle{BEK}}} \)

而 \(\displaystyle \angle{AGG}+\angle{BEK}=180^o \)

所以 \(\displaystyle \frac{AG}{AK}=\frac{BE}{BK} \)

故得證A、M、B、K是調和點列

(2) 同理A、N、C、L是調和點列
故A關於MN和KL兩線的極線是BC，那麼MN、KL、BC三線共點

(3)
MK和NL交於A，EK和FL交於P，再令EM和FN交於Q，
由笛薩格定理得到，A、P、Q三點共線

(4)
\(\displaystyle \angle{MEB}=\frac{1}{2}\angle{ABC} \)

BF=BH ，所以 \(\displaystyle  \angle{BFH}=90^o-\frac{1}{2}\angle{ABC} \)

故EQ和PF垂直；
同理FQ和PE垂直，故Q為三角形PEF的垂心，PQ與BC垂直。

不好意思，讓你有這種誤解，我先拿掉

分成(1)與一股垂直和(2)與斜邊垂直
(1)假設GI與AC垂直，交AC於F
那麼GI與BC平行，就有 \(\displaystyle IF=r=\frac{2}{3}EC \)

\(\displaystyle \frac{a+b-c}{2}=\frac{2}{3} \times \frac{ab}{b+c} \)

\(\displaystyle 4ab=3(ab+ac+b^2-c^2) \)

\(\displaystyle ab=3ac-3a^2 \)

\(\displaystyle 3a+b=3c \)

\(\displaystyle 9a^2+6ab+b^2=9c^2=9a^2+9b^2 \)

\(\displaystyle 3a=4b  =>  a:b=4:3 \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-14 11:09 PM 編輯 ]