第 2 題. 好神的算式...看不懂

另證. 令 \( f(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right], n \in \mathbb{N} \)

設 \( p,  m \in \mathbb{N}_0 \)，有以下性質

1. 若 \( \displaystyle p<2^{m}, \left[\frac{p+2^{m}+2^{k}}{2^{k+1}}\right]=\begin{cases}
\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+\left[\frac{p+2^{k}}{2^{k+1}}\right] & \mbox{, if }k<m\\
1 & \mbox{, if }k=m\\
0 & \mbox{, if }k>m
\end{cases} \)
.
2. 若 \( p<2^{m} \)，則 \( \displaystyle f(p+2^m) = f(p) + \sum_{k=0}^{m-1}\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+1=f(p) + 2^{m} \)

把 \( n \) 寫成2進制，重復使用性質 2，即得 \( f(n) = n \)。

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好像看懂了，是用了 \( [x] + [x+\frac12] = [2x] \) 移項得 \( [ x + \frac12] = [2x] - [x] \)

取 \( x = \frac{n}{2^{k+1}} \) 代入上式，是這樣沒錯吧？

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-9 05:27 PM 編輯 ]

您一行秒證，我寫了 5 行

跟您的神蹟比起來，我就像在鬼畫符一樣

填充 11. 印象中上次是處理面積，用線性變換比較沒問題

處理線段長，應該再小心一點，直的線段剛好壓扁成 \( \frac12 \) 倍長度，而斜的線段壓扁時長度變化
弦長 \( = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2/4} \geq \frac12 \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \)

正焦弦壓扁後長(壓扁後不是正焦弦) = \( \frac12 \) 倍的正焦弦長(壓扁前) \( \leq \frac12 \) 倍其它焦弦長(壓扁前) \( \leq \) 弦長(壓扁後不是焦弦)

故，當 \( \overline{AB} \) 為垂直線段時，弦長為最小值。

回復 26# 阿光 的帖子

計算 14. 103武陵高中計算1

填充 5. 見 #15, #16 瓜農自足和 thepiano 老師的討論

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-26 10:24 PM 編輯 ]

差別的地方在於，線性變換前後面積成常數倍，而線段只有平行的線段倍數才相同，不平行的線段伸縮的倍率不同。

一般而言，或者說我做這題線段最小值的時候，我根本想不到這個方法

所以你用這個方法來處理線段就已經超過我處理面積

填7. 取球問題
weiye 老師的絕招：\( \displaystyle \left( 1 + \frac{11}{4+1} \right) \times 4 = \frac{64}5 \)

原理見 101竹山高中填充9

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-11 11:38 AM 編輯 ]