注意 \( c=a \) 時  \( |a-c| = 0 \)，及 \( |x-y| = |y-x| \)

故 \( \displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m}\sum\limits _{c=1}^{m}|c-a|=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| \)

令 \( p = c-a,  q = m-a+1 \)，

則 \( \displaystyle 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| = 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{p=1}^{m-a}p=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}C_{2}^{m-a+1}=2\sum\limits _{q=2}^{m}C_{2}^{q}=2C_{3}^{m+1}=\frac{m^{3}-m}{3} \)
上行，第四個等號用了帕斯卡定理

8. 認真做

9. 如詳解第三行，B 部分的 Winner 數 = 10
   P 到 H(n-1) 的各點距離和為 \( (1+2+3+...+2n-1) + (2+3+4+...+2n) = 4n^2  - 1  \)
                                                               (上半部 + 下半部)
  S 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( 4n^2 - 1 \)
  Q 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( (4n^2 - 1) + 2(2n-1) = 4n^2 + 4n -3 \)
  R 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( (4n^2 - 1) + 2(2n-1) = 4n^2 + 4n -3 \)
加總得 \( W(H(n)) - W(H(n-1)) = 16n^2 + 8n +2 \)

10. 當 \( n\geq 2 \) 時， \( W(H(n)) = W(H(1)) + \sum_{k=2}^n W(H(k)) - W(H(k-1)) \)
計算可得結論