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1999 TRML 思考賽 問題七 絕對值求和

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注意 \( c=a \) 時  \( |a-c| = 0 \),及 \( |x-y| = |y-x| \)

故 \( \displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m}\sum\limits _{c=1}^{m}|c-a|=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| \)

令 \( p = c-a,  q = m-a+1 \),

則 \( \displaystyle 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| = 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{p=1}^{m-a}p=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}C_{2}^{m-a+1}=2\sum\limits _{q=2}^{m}C_{2}^{q}=2C_{3}^{m+1}=\frac{m^{3}-m}{3} \)
上行,第四個等號用了帕斯卡定理
文不成,武不就

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