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第7題
已知函數\(f(x)=|\;cos x|\;\)的圖像與直線\(y=kx(k>0)\)恰有兩個交點，其中交點的橫坐標的最大值為\(\alpha\)，求\(\displaystyle \frac{sin\alpha}{cos3\alpha-cos\alpha}=\) (以\(\alpha\)表示)。
[解答]
恰有兩個交點表示
\(y=kx\)和\(y=cosx\)在\(\left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)相交
\(y=kx\)和\(y=-\cos x\)在\(\left( \frac{\pi }{2},\pi \right)\)相切
故
\(\begin{align}
& \left\{ \begin{align}
& k=\sin \alpha \\
& k\alpha =-\cos \alpha \\
\end{align} \right. \\
& \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{1}{\alpha } \\
& {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\alpha }^{2}}+1} \\
& \frac{\sin \alpha }{\cos 3\alpha -\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{-4\cos \alpha \left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha \right)}=\frac{1}{4\alpha \times \frac{1}{{{\alpha }^{2}}+1}}=\frac{{{\alpha }^{2}}+1}{4\alpha } \\
\end{align}\)
