填充7：
已知函數\(f(x)=|\;cos x|\;\)的圖像與直線\(y=kx(k>0)\)恰有兩個交點，其中交點的橫坐標的最大值為\(\alpha\)，求\(\displaystyle \frac{sin\alpha}{cos3\alpha-cos\alpha}=\)　　　(以\(\alpha\)表示)。
[解答]
畫圖知交於兩點時剛好有相切之關係, \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right),\left| \cos \alpha  \right|=-\cos \alpha \)
由切線斜率相等可推知\(\displaystyle \frac{-\cos \alpha }{\alpha }={{\left. \frac{d}{dx}\left( -\cos x \right) \right|}_{x=\alpha }}=\sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha =-\frac{1}{\alpha }\)
所求可化簡為\(\displaystyle \frac{1}{-2\sin 2\alpha }=\frac{1+{{\tan }^{2}}\alpha }{-4\tan a}=\frac{{{\alpha }^{2}}+1}{4\alpha }\)

填充4：
若\(P(x,y)\)與\(Q(m,n)\)是關於直線\(y=2x-1\)對稱的兩點，將\(Q(m,n)\)繞原點旋轉\(60^{\circ}\)，又得到\(R(X,Y)\)。假設將\(P\)變換到\(R\)可用矩陣\(\left[\matrix{X\cr Y}\right]=\left[\matrix{a&b\cr c&d} \right]\left[\matrix{x\cr y} \right]+\left[\matrix{\alpha \cr \beta} \right]\)表示，則矩陣\(\left[\matrix{\alpha \cr \beta}\right]=\)　　　。
[解答]
想法如下：
先考慮\(P\)到直線\(y=2x\)之對稱點P’(x',y'), 然後再經過平移到\(Q\)
畫圖可推知 \(Q=P'+t\left( 2,-1 \right),t\in {{R}^{+}}\) , 解 \(\left| Q-P' \right|=\left| \overrightarrow{P'Q} \right|=t\left| \left( 2,-1 \right) \right|=2d=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow t=\frac{2}{5}\)  
其中 d 為 y=2x 與 y=2x-1 之距離, 所以我們得到關係式
\(\left( \begin{matrix}
   m  \\
   n  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   x'  \\
   y'  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   \frac{4}{5}  \\
   -\frac{2}{5}  \\
\end{matrix} \right)\) , 再透過旋轉與線性關係，
\(\left( \begin{matrix}
   \alpha   \\
   \beta   \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \cos 60{}^\circ  & -\sin 60{}^\circ   \\
   \sin 60{}^\circ  & \cos 60{}^\circ   \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   \frac{4}{5}  \\
   \frac{-2}{5}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \frac{2+\sqrt{3}}{5}  \\
   \frac{2\sqrt{3}-1}{5}  \\
\end{matrix} \right)\)
依樣錯誤或怪怪的地方再麻煩偵錯一下，感恩

計算2：
只由三個字母\(a,b,c\)所組成長度為\(n\)的字串在通訊管道上傳輸，要求在傳輸中不可以有兩個\(a\)連續出現在任一字串中。令\(a_n\)是長度為\(n\)的字串時，傳輸中的字串個數，則：
(1)求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)之值。
(2)寫出\(a_n\)的遞迴式。
(3)求\(a_n\)的一般式。
[解答]
(1) a(1)=3 , a(2)=8, a(3) =22
(2)  考慮a(n)：
      若第一個字母為a, 則第2個字母為b或c, 方法數2*a(n-2)
      若第一個字母為b或c,  方法數2*a(n-1)
      故 a(n)=2( a(n-1) + a(n-2) )

計算3：
已知實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f(x^2)=f(x+1)f(x-1)\)，證明方程式\(f(x)=0\)無實根。
[解答]
反證法：
假設\(f\left( x \right)=0\) 存在實根\({{a}_{1}}\), 不失一般性，令\({{a}_{1}}>0\)
則\(f\left( {{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}} \right)=f\left( {{a}_{1}}+2 \right)f\left( {{a}_{1}} \right)=0\), \({{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}}\)亦為\(f\left( x \right)=0\)的實根，令為\({{a}_{2}}\)
考慮\({{a}_{k}}={{\left( {{a}_{k-1}}+1 \right)}^{2}},k\ge 2\), 則我們得到一個嚴格遞增的正實數數列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)滿足
\(f\left( {{a}_{k}} \right)=0,k\in \mathbb{N}\), 故此多項式方程式的根為無限個，矛盾。

計算4：
設\(a_1\)，\(a_2\)，\(\ldots\)是等差數列且\(a_1>1\)，公差\(d>0\)，證明：對所有自然數\(n\)，\(\displaystyle log_{a_n}a_{n+1}>log_{a_{n+1}}a_{n+2}\)。
[解答]
考慮函數\(f\left( x \right)=\frac{\log \left( x+d \right)}{\log x},x>1\Rightarrow f'\left( x \right)<0,\forall x>1\), 故函數\(f\)在定義域為嚴格遞減，所以 \({{a}_{n}}<{{a}_{n+1}}\Rightarrow f\left( {{a}_{n}} \right)>f\left( {{a}_{n+1}} \right)\), 所求得證。

計算5：
設\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點，且是\(\Delta ABC\)的外心，證明：\(sin 2A \vec{PA}+sin 2B \vec{PB}+sin 2C \vec{PC}=\vec{0}\)。
[解答]
外心在三角形內部，此三角形為銳角三角形，
因為三角形面積比為\( PBC: PAC: PAB=\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2A:\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2B:\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2C=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C\),
故所求得證。

觀念是將相加為0的三個向量看成是一個新的三角形的重心，再利用面積比等於邊長乘積比得到此性質，
找了一個範例給您參考一下

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