填充 1.
設向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)滿足\(|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=3\),\(\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\),且\(\vec{a}-\vec{c}\)與\(\vec{b}-\vec{c}\)的夾角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\),則\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為
。
[解答]
圖長這樣,
\( \vec{a} = \vec{PA}, \vec{b} = \vec{PB}, \vec{c} = \vec{PC} \) 兩圓的圓心 \( O, O' \),滿足 \( \angle AOB = \angle AO'B = 120^\circ \) (這樣向量 \( \vec{CA}, \vec{CB} \) 夾 \( 60^\circ \) )
當 \( C = C'' \) 是最小值,\( C = C' \) 時,有最大值。
令 \( \theta = \frac12 \angle APB \),則所求最大值 \(= 3 \cos \theta + 3 \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3 = \frac{\sqrt{19} + \sqrt{51}}{2} \)