感謝版主辛苦的整理以及wen0623兄提供題目

第12題的公式也可有人這樣記：
\(4R\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{2{{R}^{2}}}=\frac{2\Delta }{R}\)
\(4R\sin A\sin B\sin C=2\sin A\left( 2R\sin B\sin C \right)=2\sin A\left( b\sin C \right)=2{{h}_{a}}\sin A\)

計算2(2)
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
\(\cos A=-\cos C\Rightarrow {{n}^{2}}=\frac{\left( ab+cd \right)\left( ac+bd \right)}{ad+bc}\)
兩式相除開根號即可

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 08:24 PM 編輯 ]

第9題：
注意到函數m在0是不連續的，故考慮區間\(\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 0,\infty  \right)\)
直接微分，用一階導數測試法知m在\(\left( -\infty ,0 \right)\)有唯一極大值m(-1)=-1；在\(\left( 0,\infty  \right)\)有唯一極小值m(1)=1
因為\(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=-\infty \), 知y軸為m之漸近線，
故圖形大致已經抵定，函數的值域為 \(\left\{ \left. m \right|m\ge 1\,\,\,\,or\,\,\,m\le -1 \right\}\)

填充14題我的作法有點暴力，直覺上應該有秒殺作法，等待橢圓兄、寸絲兄等高手出招XD小弟就先不獻醜了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 09:55 PM 編輯 ]

恩....那算一邊
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD

這邊用到托勒密定理比較方便的地方應該是BE / AB = \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
令BE=x , 則 \(x\cdot x=x\cdot 1+1\cdot 1\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

果然橢圓兄化減得簡潔漂亮多了~容小弟整理一下：
(1) 若本題面積改為任意的實數\(k>0\), 由橢圓兄提供的簡潔面積算式可推出：
    \[\frac{1}{6}{{\left( \beta -\alpha  \right)}^{3}}=k\Rightarrow {{\left( \beta -\alpha  \right)}^{3}}=6k\], 由於\(\beta >\alpha \), 取\(\beta -\alpha =\sqrt[3]{6k}\),仿橢圓兄作法，另一方面，由\[{{\left( \alpha -\beta  \right)}^{2}}={{\left( \alpha +\beta  \right)}^{2}}-4\alpha \beta =\sqrt[3]{36{{k}^{2}}}=4{{X}^{2}}-4\alpha \beta \Rightarrow \alpha \beta ={{X}^{2}}-\frac{\sqrt[3]{36{{k}^{2}}}}{4}\].
    故中點\(\left( X,Y \right)\)滿足方程式\(Y=2{{X}^{2}}-\alpha \beta ={{X}^{2}}+\frac{\sqrt[3]{36{{k}^{2}}}}{4}\).
    這形式的重點應該是說，無論面積為何，所求軌跡必為一以\(y\)軸為軸之拋物線。

(2) 利用此結論，做填充題時我們只要求出頂點即可，解\(\int_{-\alpha }^{\alpha }{\left( {{\alpha }^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{4}{3}\), 可馬上得到\(\alpha =1\), 故本題答案\(y={{x}^{2}}+1\).

考慮直線為水平線\(y={{\alpha }^{2}}\)時，
此時中點會產生在拋物線的軸上，此點必為頂點

橢圓兄所提到的矩陣法應該是這個方法：

考慮增廣矩陣做列運算\(\left( \begin{matrix}
   103 & 1 & 0  \\
   17 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\to \left( \begin{matrix}
   1 & 1 & -6  \\
   17 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\to \left( \begin{matrix}
   1 & 1 & -6  \\
   0 & -17 & 103  \\
\end{matrix} \right)\)
則不定方程式\(103x+17y=2014\)的整數通解為
\(\left\{ \begin{align}
  & x=2014\left( 1 \right)-17t \\
& y=2014\left( -6 \right)+103t \\
\end{align} \right.,t\in \mathbb{Z}\)

其實不會特別快XD，速度上差不多，原理都是找一組特解再放大(輾轉相除法)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-8 03:04 PM 編輯 ]