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103全國高中聯招

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計算3
n^2+103n=n(n+103) 的個位只可能是0,4,8
不可能是6, 原題得證
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103.12.5版主補充
順著thepiano的解答,你可以再思考以下的問題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3332

1.\( \pmod{10} \)要討論10種情況,那在挑同餘的數字時可不可以少一點?
\( \pmod{2} \)、\( \pmod{3} \)、\( \pmod{4} \)、\( \pmod{5} \)、\( \pmod{6} \)、…哪個同餘的數字也能證明不是2000的倍數。

2.其實這類題目出自於數學歸納法單元,只是這單元的題目都是證明是某數的倍數,那103全國聯招這題要證明"不是"2000的倍數能不能用數學歸納法證明?

3.以下幾題請用同餘的方法證明。
(1)證明\( 2^{3n}-1 \)恆為7的倍數?

(2)證明\( 11^n+1 \)永遠不是2014的倍數。

(3)設\( n \)為自然數,試以數學歸納法證明:\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數
(101全國聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6023)

(4)\( n \)為正奇數,證明256整除\( n^8-n^6+n^4-3n^2+2 \)
(102大同高中,https://math.pro/db/thread-1593-1-9.html)

4.同餘的方法比起數學歸納法有什麼優缺點?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-12-5 09:05 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 YAG 於 2014-6-3 09:14 AM 發表


我是用鳳山高中跳針那個例子解法,參考 35# 請問我錯在哪裡?
視為AABBBCC排列,A與B不相鄰
先排BBBCC, 先排CC之後放入BBB
3个B在一起,如BBBX_X_
B:C(3,1)=3; A:x1+x2=2,C(4,2)=6; 3*6=18
A 是 H(2,2) = C(3,2) = 3
3 * 3 = 9

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回復 41# YAG 的帖子

鳳山的題目是"字",全國的題目是"人",人有相同的嗎?
全國這題依您的算法就是 (9 + 6) * 2! * 2! * 3! = 360

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引用:
原帖由 arend 於 2014-6-4 12:22 AM 發表
單選6,如果不用e,用傳統的錯列來算,這個數字很大,請問有其他的做法嗎?
單選第 6 題
就估一下
所求\(\text{=}\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}-\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}\)
\(\begin{align}
  & =\frac{3}{8}-\left[ \left( \frac{1}{5!}-\frac{1}{6!} \right)+\left( \frac{1}{7!}-\frac{1}{8!} \right)+\left( \frac{1}{9!}-\frac{1}{10!} \right) \right] \\
& =0.375-\frac{5}{6!}-\frac{7}{8!}-\frac{9}{10!} \\
& >0.375-\frac{5}{6!}\times 3 \\
& \doteq 0.355 \\
\end{align}\)

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回復 62# studentJ 的帖子

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回復 71# nanpolend 的帖子

複選第10題
\(\begin{align}
  & \log a=2+2x \\
& \log b=3+x \\
& \log a-2\log b=-4 \\
& \frac{a}{{{b}^{2}}}={{10}^{-4}} \\
& a={{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}\in N \\
&  \\
& 360<{{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}<400 \\
& \frac{b}{100}=19 \\
& b=1900,a=361 \\
\end{align}\)

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